Задание 11 ЕГЭ: линейные функции по графику — гайд с разбором примеров

О чём эта подтема

В задании 11 профильного ЕГЭ часто встречается график линейной функции $f(x) = kx + b$, изображённый на координатной плоскости с клетчатой сеткой. Требуется либо найти значение функции в заданной точке (например, $f(-5)$), либо найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает заданное значение. Задача не проверяет знание сложной теории — она проверяет умение читать график, находить координаты характерных точек и составлять уравнение прямой. Это одна из самых «дешёвых» по времени задач экзамена: при правильном алгоритме она решается за одну-две минуты без единой ошибки, если аккуратно снять координаты с рисунка.

Ключевая идея подтемы: любая невертикальная прямая на плоскости однозначно задаётся двумя точками, а по двум точкам легко восстанавливается формула $y = kx+b$. Дальше — обычная подстановка чисел.

Что нужно знать

1. Общий вид линейной функции: $f(x) = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон прямой), $b$ — значение функции при $x=0$, то есть точка пересечения графика с осью $Oy$.

2. Геометрический смысл коэффициентов:

• $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$ (график всегда проходит через точку $(0; b)$).
• $k$ — это отношение изменения $y$ к изменению $x$ при переходе от одной точки графика к другой: $$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$ Если прямая идёт «вверх» слева направо, $k>0$; если «вниз» — $k<0$; чем круче прямая, тем больше $|k|$ по модулю.

3. Как находится прямая по графику. На клетчатом рисунке всегда можно найти хотя бы две точки с целыми координатами — там, где прямая пересекает линии сетки. Обычно это точка пересечения с осью $Oy$ (даёт $b$) и любая другая «удобная» точка (даёт возможность вычислить $k$).

4. Формула прямой по двум точкам. Если известны координаты двух точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, принадлежащих графику, то: $$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - k x_1.$$

5. Подстановка значений. Как только найдены $k$ и $b$, любая часть задачи — вычислить $f(x_0)$ или найти $x$ по значению $f(x)=y_0$ — превращается в простое уравнение: $$f(x_0) = k x_0 + b, \qquad x = \dfrac{y_0 - b}{k}.$$

Больше никакой теории не требуется: ни производные, ни исследование функции здесь не нужны — только координатная геометрия прямой.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задания единый и очень надёжный:

Шаг 1. Найти на графике две точки с целыми (или хотя бы понятными) координатами. Лучше всего искать точку пересечения с осью $Oy$ — она сразу даёт значение $b$. Затем найти любую другую точку графика, лежащую на пересечении линий сетки — она нужна для вычисления $k$.

Шаг 2. Вычислить угловой коэффициент $k$. Подставить координаты двух найденных точек в формулу $$k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$$ Обратить внимание на знак: если прямая убывает, $k$ отрицательный.

Шаг 3. Записать формулу функции. $$f(x) = kx + b,$$ где $b$ найдено на шаге 1 (или пересчитано через формулу $b = y_1 - kx_1$, если точка пересечения с осью $Oy$ не видна на рисунке).

Шаг 4. Подставить нужное значение.

• Если требуется найти $f(x_0)$ — подставить $x_0$ в формулу и вычислить.
• Если требуется найти $x$ при известном $f(x) = y_0$ — решить линейное уравнение $kx + b = y_0$ относительно $x$.

Шаг 5. Проверка. Подставить полученный ответ обратно в исходную формулу и убедиться, что равенство выполняется. Это занимает несколько секунд, но исключает арифметические ошибки.

Весь метод сводится к тому, чтобы аккуратно «снять» координаты двух точек с картинки — дальше всё чисто механическая алгебра.

Разбор примера

Пример 1. На рисунке изображён график функции $f(x) = kx + b$. Найдите $f(-5)$.

Предположим, что по клетчатой сетке видно, что прямая проходит через точку пересечения с осью $Oy$ в точке $(0; -5)$ и через точку $(5; 0)$ — точку пересечения с осью $Ox$. Это две удобные точки с целыми координатами, которые обычно и выбирают на подобных рисунках.

Шаг 1. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -5)$, значит $b = -5$.

Шаг 2. Вторая точка: $(5; 0)$. Находим угловой коэффициент: $$k = \dfrac{0 - (-5)}{5 - 0} = \dfrac{5}{5} = 1.$$

Шаг 3. Формула функции: $$f(x) = x - 5.$$

Шаг 4. Находим $f(-5)$: $$f(-5) = (-5) - 5 = -10.$$

Шаг 5. Проверка: подставим найденные $k=1$, $b=-5$ обратно и убедимся, что точка $(5;0)$ действительно лежит на прямой: $f(5) = 5-5 = 0$ — верно, значит формула найдена правильно.

Ответ: $f(-5) = -10$.

Пример 2. На рисунке изображён график функции $f(x) = kx + b$. Найдите значение $x$, при котором $f(x) = -13{,}5$.

Предположим, что на графике видно, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -3)$, а ось $Ox$ — в точке $(2; 0)$.

Шаг 1. Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -3)$, значит $b = -3$.

Шаг 2. Вторая точка: $(2; 0)$. Находим угловой коэффициент: $$k = \dfrac{0 - (-3)}{2 - 0} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5.$$

Шаг 3. Формула функции: $$f(x) = 1{,}5x - 3.$$

Шаг 4. Решаем уравнение $f(x) = -13{,}5$: $$1{,}5x - 3 = -13{,}5;$$ $$1{,}5x = -13{,}5 + 3 = -10{,}5;$$ $$x = \dfrac{-10{,}5}{1{,}5} = -7.$$

Шаг 5. Проверка: подставим $x=-7$ в формулу: $$f(-7) = 1{,}5\cdot(-7) - 3 = -10{,}5 - 3 = -13{,}5.$$ Равенство выполняется, значит ответ верен.

Ответ: $x = -7$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: сначала восстанавливаем формулу функции по двум точкам графика, а затем решаем простое уравнение или делаем подстановку. Различие только в том, что ищется — значение функции или значение аргумента.

Типичные ошибки

1. Перепутать координаты точки. Часто ошибка возникает из-за того, что координаты $x$ и $y$ на рисунке путают местами, особенно если точка расположена близко к осям. Всегда проверяйте: первая координата — это положение по горизонтали, вторая — по вертикали.

2. Неправильный знак угла наклона. Если прямая убывает (идёт вниз слева направо), коэффициент $k$ отрицательный. Забывчивость про минус — самая частая арифметическая ошибка в этой подтеме.

3. Выбор точек не на графике, а рядом. Иногда за точку графика принимают точку сетки, лежащую близко к линии, но не точно на ней. Нужно выбирать только те точки, через которые прямая проходит точно — обычно это видно по пересечению с линиями клетчатой сетки.

4. Ошибки при решении уравнения с дробными коэффициентами. Когда $k$ получается дробным (например, $1{,}5$ или $\frac{2}{3}$), при решении уравнения относительно $x$ легко ошибиться в делении. Полезно переводить дробные коэффициенты в обычные дроби и выполнять действия аккуратно, по шагам, а не «в уме».

5. Путаница между «найти $f(x_0)$» и «найти $x$ при данном $f(x)$». Это две разные операции: в первом случае подставляем $x$ в формулу, во втором — решаем уравнение относительно $x$. Внимательно читайте условие: что дано и что нужно найти.

6. Забыть про проверку ответа. Даже если формула найдена верно, механическая ошибка в подстановке легко проскакивает при беглом решении. Проверка подстановкой почти не занимает времени, но исключает почти все арифметические промахи.

На что обратить внимание на экзамене

• Внимательно смотрите на масштаб осей на рисунке: иногда одна клетка соответствует не одной, а двум или пяти единицам — тогда координаты точек нужно домножать на соответствующий коэффициент масштаба, а не считать их равными числу клеток.

• Всегда старайтесь искать точку пересечения с осью $Oy$ первой — она напрямую даёт $b$ без дополнительных вычислений, и это упрощает весь дальнейший расчёт.

• Если график не пересекает оси в удобных целых точках (например, из-за масштаба), используйте любые две точки с чётко читаемыми координатами и формулу $k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, а затем найдите $b$ через $b = y_1 - kx_1$.

• Не пренебрегайте финальной проверкой — подставьте полученный ответ в формулу функции и убедитесь, что равенство выполняется. Это гарантия того, что ни знак, ни арифметика не подвели.

• Задание почти всегда решается быстро — не более двух минут. Если расчёт затягивается или получаются «некрасивые» числа, скорее всего, точки с графика сняты неверно — стоит перепроверить рисунок.

• Помните, что $k$ и $b$ — это не абстрактные буквы, а конкретные числа, которые полностью восстанавливаются по рисунку. Не пытайтесь угадывать формулу «по виду» прямой — только точный расчёт по двум точкам даёт верный результат.