Задача 509060. Показательные и логарифмические функции

Шаг 1. Используем точки графика для составления системы.

Из графика видно, что функция проходит через две известные точки. Записываем условия:

• $f(-3) = 1$: $\log_a(-3 + b) = 1$
• $f(-1) = 2$: $\log_a(-1 + b) = 2$

Шаг 2. Применяем определение логарифма.

Преобразуем уравнения, используя $\log_a(x) = y \Leftrightarrow x = a^y$:

• $-3 + b = a^1 = a$
• $-1 + b = a^2$

Шаг 3. Решаем систему для $a$ и $b$.

Из первого уравнения: $b = a + 3$

Подставляем во второе: $$-1 + (a + 3) = a^2$$ $$a + 2 = a^2$$ $$a^2 - a - 2 = 0$$ $$(a - 2)(a + 1) = 0$$

Получаем $a = 2$ или $a = -1$. Так как основание логарифма должно быть положительным и не равно 1, то $a = 2$.

Тогда $b = 2 + 3 = 5$.

Шаг 4. Находим $x$ из уравнения $f(x) = 4$.

Теперь функция: $f(x) = \log_2(x + 5)$

Решаем: $$\log_2(x + 5) = 4$$ $$x + 5 = 2^4$$ $$x + 5 = 16$$ $$x = 11$$