Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные и логарифмические функции

Шаг 1. Определяем точки на графике

Из рисунка видны две точки, через которые проходит график: при $x = 2$ значение $f(2) = 1$, при $x = 1$ значение $f(1) = -1$. Эти координаты дают нам информацию о параметрах $a$ и $b$.

Шаг 2. Составляем систему уравнений

Подставляем координаты точек в формулу $f(x) = a^x + b$:

$$\begin{cases} a^2 + b = 1 \\ a^1 + b = -1 \end{cases}$$

Шаг 3. Вычитаем второе уравнение из первого

$(a^2 + b) - (a + b) = 1 - (-1)$

$a^2 - a = 2$

$a^2 - a - 2 = 0$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение

$(a - 2)(a + 1) = 0$, откуда $a = 2$ или $a = -1$.

Поскольку основание показательной функции должно быть положительным ($a > 0$), выбираем $a = 2$.

Шаг 5. Находим $b$

Из второго уравнения: $2 + b = -1$, поэтому $b = -3$.

Шаг 6. Вычисляем $f(6)$

$$f(x) = 2^x - 3$$

$$f(6) = 2^6 - 3 = 64 - 3 = 61$$