Задача 509009. Показательные и логарифмические функции

Шаг 1. Читаем две точки с графика

По графику видны точки, через которые проходит кривая. Определяем: $f(2) = -2$ и $f(4) = -1$.

Шаг 2. Составляем систему уравнений

Подставляем эти значения в формулу $f(x) = b + \log_a x$:

$$\begin{cases} -2 = b + \log_a 2 \\ -1 = b + \log_a 4 \end{cases}$$

Шаг 3. Упрощаем второе уравнение

Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому $\log_a 4 = \log_a 2^2 = 2\log_a 2$. Подставляем:

$$\begin{cases} -2 = b + \log_a 2 \\ -1 = b + 2\log_a 2 \end{cases}$$

Шаг 4. Вычитаем первое уравнение из второго

$$-1 - (-2) = (b + 2\log_a 2) - (b + \log_a 2)$$ $$1 = \log_a 2$$

Следовательно, $a = 2$ (так как $\log_2 2 = 1$).

Шаг 5. Находим $b$

Подставляем $a = 2$ в первое уравнение: $$-2 = b + \log_2 2 = b + 1$$ $$b = -3$$

Шаг 6. Вычисляем $f(32)$

Теперь у нас есть функция: $f(x) = -3 + \log_2 x$

$$f(32) = -3 + \log_2 32 = -3 + \log_2 2^5 = -3 + 5 = 2$$