Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные и логарифмические функции

Шаг 1. Найдём параметры $a$ и $b$ по двум точкам графика.

Из графика видно, что $f(2) = 1$ и $f(3) = 5$. Подставим в формулу $f(x) = a^x + b$:

$$a^2 + b = 1$$ $$a^3 + b = 5$$

Шаг 2. Решим систему уравнений.

Вычтем первое уравнение из второго: $$a^3 - a^2 = 4$$ $$a^2(a - 1) = 4$$

Перепишем как: $$a^3 - a^2 - 4 = 0$$

Проверим $a = 2$: $8 - 4 - 4 = 0$ ✓. Следовательно, $a = 2$.

Шаг 3. Найдём $b$.

Подставим $a = 2$ в первое уравнение: $$4 + b = 1 \implies b = -3$$

Проверка: $f(3) = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5$ ✓

Шаг 4. Решим уравнение $f(x) = 29$.

$$2^x - 3 = 29$$ $$2^x = 32$$ $$2^x = 2^5$$ $$x = 5$$