Задание 11 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные и логарифмические функции

Шаг 1. Определяем два условия из графика.

Из рисунка читаем координаты двух точек на графике:

• При $x = 2$ значение $f(2) = -2$
• При $x = 4$ значение $f(4) = -1$

Шаг 2. Составляем систему уравнений.

Подставляем эти условия в формулу $f(x) = b + \log_a x$:

$$\begin{cases} -2 = b + \log_a 2 \\ -1 = b + \log_a 4 \end{cases}$$

Шаг 3. Упрощаем вторую строку.

Заметим, что $\log_a 4 = \log_a 2^2 = 2\log_a 2$ (по свойству логарифма степени). Перепишем систему:

$$\begin{cases} -2 = b + \log_a 2 \\ -1 = b + 2\log_a 2 \end{cases}$$

Шаг 4. Вычитаем первое уравнение из второго.

$$(-1) - (-2) = (b + 2\log_a 2) - (b + \log_a 2)$$ $$1 = \log_a 2$$

Это означает, что $a^1 = 2$, следовательно, $a = 2$.

Шаг 5. Находим $b$.

Подставляем $a = 2$ в первое уравнение: $$-2 = b + \log_2 2 = b + 1$$ $$b = -3$$

Шаг 6. Решаем уравнение $f(x) = 1$.

Теперь мы знаем, что $f(x) = -3 + \log_2 x$. Приравниваем к 1:

$$-3 + \log_2 x = 1$$ $$\log_2 x = 4$$ $$x = 2^4 = 16$$