ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 11Показательные и логарифмические функции

Задача 509101. Показательные и логарифмические функции

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 113.1.5 Преобразования графиков3.3.6 Показательная функция, её график

На рисунке изображён график функции f левая круглая скобка x правая круглая скобка =a в степени левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка . Найдите f левая круглая скобка минус 7 правая круглая скобка .

В подтеме 11 задач
Разбор
Главная идея: Из двух точек графика находим параметры aa и bb: условие a−3+b=1a^{-3+b} = 1 даёт b=3b = 3, а затем из a4=4a^4 = 4 получаем a=2a = \sqrt{2}.

Шаг 1. Определяем координаты точек на графике

Из графика видим, что функция проходит через две удобные точки: f(−3)=1f(-3) = 1 и f(1)=4f(1) = 4. Эти значения читаются непосредственно по осям координат.

Шаг 2. Составляем систему уравнений

Подставляем эти точки в формулу f(x)=ax+bf(x) = a^{x+b}:

{1=a−3+b4=a1+b\begin{cases} 1 = a^{-3+b} \\ 4 = a^{1+b} \end{cases}

Шаг 3. Используем свойство степеней

Из первого уравнения: a−3+b=1a^{-3+b} = 1. Это возможно, только если показатель равен нулю (при a>0,a≠1a > 0, a \neq 1):

−3+b=0  ⟹  b=3-3 + b = 0 \implies b = 3

Шаг 4. Находим основание

Подставляем b=3b = 3 во второе уравнение:

4=a1+3=a44 = a^{1+3} = a^4

Значит a=44=2a = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} (берём положительный корень).

Шаг 5. Вычисляем f(−7)f(-7)

f(−7)=(2)−7+3=(2)−4f(-7) = (\sqrt{2})^{-7+3} = (\sqrt{2})^{-4}

Отрицательный показатель означает:

f(−7)=1(2)4=14=0,25f(-7) = \frac{1}{(\sqrt{2})^4} = \frac{1}{4} = 0,25

Типичные ошибки

  • Неправильно вычислили (2)4(\sqrt{2})^4: это 4, а не 2
  • Забыли, что a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}, и неверно упростили f(−7)f(-7)
  • Ошибка при чтении координат точек с графика — неправильно определили f(−3)f(-3) или f(1)f(1)

Ещё задачи этой подтемы