Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

Шаг 1: Определяем связь между вписанным углом ACB и дугой AB.

Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. По теореме о вписанном угле: $\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB$.

Из условия $\angle ACB = 65°$, следовательно, дуга AB = $2 \cdot 65° = 130°$.

Шаг 2: Находим центральный угол AOB.

Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается. Поэтому $\angle AOB = 130°$.

Шаг 3: Используем то, что AC и BD — диаметры.

Поскольку AC — диаметр, точки A и C лежат на противоположных сторонах окружности через центр O. Аналогично, B и D — диаметрально противоположны.

Это означает, что $\angle AOC = 180°$ и $\angle BOD = 180°$.

Шаг 4: Вычисляем угол AOD.

Полные углы вокруг центра связаны: $\angle AOD + \angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 360°$.

Но проще заметить: $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные углы при пересечении диаметров, поэтому $\angle AOD = \angle BOC$.

Так как $\angle AOD + \angle AOB = 180°$ (они дополняют друг друга на прямой, содержащей диаметр AC), то:

$$\angle AOD = 180° - \angle AOB = 180° - 130° = 50°$$