Задание 12 ЕГЭ база: планиметрия — треугольники, окружности, многоугольники

Что проверяет задание

Задание 12 базового ЕГЭ по математике относится к разделу планиметрии. Оно проверяет умение находить числовые характеристики геометрических фигур: стороны, высоты, углы, площади — используя базовые свойства треугольников, четырёхугольников, многоугольников и окружностей. Здесь не требуется доказывать теоремы, но нужно уверенно применять их на практике: теорему Пифагора, определения тригонометрических функций острого угла, свойства равнобедренных фигур, вписанных углов и элементов окружности.

Основная сложность — не в сложности вычислений, а в правильном выборе метода и аккуратном построении дополнительных элементов чертежа (высоты, диагонали, радиуса). Именно поэтому важно чётко знать, какие свойства «включаются» в зависимости от типа фигуры.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «В треугольнике ABC известно то-то, найдите то-то» или «В окружности с центром O известно то-то, найдите угол/длину/площадь». Часто прилагается схематичный рисунок, но иногда его нет — тогда чертёж нужно представить самостоятельно по описанию.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывается без единиц измерения, без пробелов и лишних символов. Дробная часть отделяется запятой (например, 0,6). Времени на это задание в базовом варианте отводится немного, поэтому важно уметь решать его быстро — за 2–4 минуты.

Что нужно знать

• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
• В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают и делят основание пополам.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2+b^2=c^2$, где $c$ — гипотенуза.
• Определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике: $\sin\alpha=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\tan\alpha=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
• Площадь треугольника: $S=\dfrac12\,a\,h_a$ (через основание и высоту) или $S=\dfrac12\,ab\sin C$ (через две стороны и угол между ними).
• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
• Свойства четырёхугольников: у параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам; у прямоугольника диагонали равны; у ромба диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов; у квадрата — все эти свойства одновременно.
• Сумма углов выпуклого $n$-угольника: $(n-2)\cdot180^\circ$.
• Свойства окружности: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, — прямой; касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; отрезки касательных из одной точки равны.

Методы решения

1. Построение высоты в равнобедренном треугольнике. Если треугольник равнобедренный, высота к основанию одновременно медиана — она делит основание пополам и создаёт два равных прямоугольных треугольника. Мини-пример: если основание $AB=10$, высота делит его на два отрезка по $5$ — далее применяется теорема Пифагора для боковой стороны.

2. Использование тригонометрических соотношений. Если известны тангенс, синус или косинус угла и один из элементов прямоугольного треугольника, можно найти остальные стороны через определения функций. Мини-пример: если $\tan\alpha=\dfrac34$ и прилежащий катет равен $8$, то противолежащий катет равен $8\cdot\dfrac34=6$.

3. Метод площадей. Если известна площадь и одна из сторон (или высота), можно найти вторую величину из формулы $S=\dfrac12ah$. Мини-пример: площадь треугольника $24$, основание $8$, тогда высота $h=\dfrac{2\cdot24}{8}=6$.

4. Применение свойств вписанных углов и центральных углов окружности. Если дан центральный угол, вписанный угол на той же дуге в два раза меньше. Мини-пример: центральный угол $80^\circ$ — вписанный угол на той же дуге равен $40^\circ$.

5. Использование свойств диагоналей четырёхугольников. Например, в ромбе диагонали перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника — это позволяет свести задачу к теореме Пифагора. Мини-пример: диагонали ромба $6$ и $8$, тогда сторона ромба $=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие и выписать все данные величины (стороны, углы, тангенс/синус/косинус, высоты).
2. Определить тип фигуры и её особые свойства — равнобедренность, вписанность в окружность, наличие прямого угла и т.д.
3. Если нужно, построить дополнительный элемент: высоту, диагональ, радиус — это часто превращает задачу в работу с прямоугольным треугольником.
4. Выбрать подходящую формулу или теорему, связывающую известные и искомые величины.
5. Подставить числовые данные и решить полученное уравнение.
6. Проверить полученный результат на здравый смысл: длина должна быть положительным числом, угол — от $0^\circ$ до $180^\circ$, и т.п.

Разбор примеров

Пример 1. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC=BC$, $AB=8$, $\tan A=\dfrac{33}{4\sqrt{33}}$. Найдите $AC$.

Шаг 1. Треугольник равнобедренный с основанием $AB$, значит высота $CH$, проведённая к основанию, является одновременно медианой. Она делит $AB$ пополам: $AH=HB=\dfrac{8}{2}=4$.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $A$ — острый, прилежащий катет $AH=4$, противолежащий катет $CH$. По определению тангенса: $$\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{CH}{4}=\frac{33}{4\sqrt{33}}.$$

Шаг 3. Отсюда $CH=\dfrac{4\cdot33}{4\sqrt{33}}=\dfrac{33}{\sqrt{33}}=\sqrt{33}$.

Шаг 4. По теореме Пифагора для треугольника $ACH$: $$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{33})^2}=\sqrt{16+33}=\sqrt{49}=7.$$

Ответ: $AC=7$.

Пример 2. В треугольнике $ABC$ известно $AC=BC=25$, $AB=40$. Найдите $\sin A$.

Шаг 1. Треугольник равнобедренный, основание $AB=40$. Высота $CH$ к основанию делит его пополам: $AH=\dfrac{40}{2}=20$.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $ACH$ гипотенуза $AC=25$, один из катетов $AH=20$. Найдём второй катет $CH$ по теореме Пифагора: $$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15.$$

Шаг 3. По определению синуса угла $A$ в прямоугольном треугольнике $ACH$: противолежащий катет — $CH$, гипотенуза — $AC$: $$\sin A=\frac{CH}{AC}=\frac{15}{25}=0{,}6.$$

Ответ: $\sin A=0{,}6$.

Пример 3. В треугольнике $ABC$ известно $AC=BC$, высота $CH=4$, $\tan A=\dfrac{4\sqrt{33}}{33}$. Найдите $AC$.

Шаг 1. Треугольник равнобедренный, $CH$ — высота к основанию $AB$, значит она же медиана и биссектриса, а точка $H$ — середина $AB$.

Шаг 2. Заметим, что $\dfrac{4\sqrt{33}}{33}=\dfrac{4}{\sqrt{33}}$, так как $\dfrac{\sqrt{33}}{33}=\dfrac{1}{\sqrt{33}}$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ противолежащий катет для угла $A$ — это $CH=4$, прилежащий — $AH$. По определению тангенса: $$\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{4}{AH}=\frac{4}{\sqrt{33}}.$$

Шаг 3. Отсюда $AH=\sqrt{33}$.

Шаг 4. По теореме Пифагора: $$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{(\sqrt{33})^2+4^2}=\sqrt{33+16}=\sqrt{49}=7.$$

Ответ: $AC=7$.

Во всех трёх примерах ключевая идея одна: равнобедренность треугольника позволяет провести высоту к основанию, которая одновременно является медианой, и свести задачу к работе с прямоугольным треугольником, где применяется либо теорема Пифагора, либо определения тригонометрических функций.

Типичные ошибки и ловушки

• Путают высоту и медиану в неравнобедренном треугольнике — свойство «высота = медиана» работает только для равнобедренного (или равностороннего) треугольника и только относительно основания.
• Неверно определяют, какой катет противолежащий, а какой прилежащий, относительно нужного угла — это приводит к перевёрнутой дробной формуле тангенса или синуса.
• Забывают, что высота к основанию равнобедренного треугольника делит его строго пополам, и пытаются искать отрезок $AH$ другим способом.
• Допускают арифметические ошибки при упрощении дробей с корнями (как в примере 3, где важно правильно избавиться от иррациональности в знаменателе).
• Извлекая квадратный корень, забывают, что искомая длина должна быть положительным числом, и не проверяют знак результата.
• Путают $\sin$ и $\cos$, особенно когда угол не является «стандартным» углом в чертеже, а обозначен буквой из вершины.
• Не переводят десятичный ответ в требуемый формат (например, пишут «0.6» вместо «0,6» — при бумажном оформлении важно использовать запятую, но при вводе в компьютерной системе — следовать инструкции конкретного варианта).

Как готовиться

1. Повторить весь список формул из раздела «Что нужно знать» и уметь быстро воспроизвести их без подсказки.
2. Решить не менее 20–30 задач разного типа: на равнобедренные треугольники, на прямоугольные треугольники с тригонометрией, на четырёхугольники и на окружности — чтобы натренировать распознавание метода по формулировке.
3. Всегда рисовать (или представлять) чертёж, даже если он не дан в условии — на нём легче увидеть, где провести высоту или диагональ.
4. Отрабатывать быстрые вычисления с корнями и дробями без калькулятора — часто ответ получается «красивым» целым числом, и если в процессе решения появляются громоздкие иррациональности, стоит перепроверить шаг.
5. После решения проверять ответ на разумность: длина стороны треугольника не может быть отрицательной или превышать сумму двух других сторон, синус и косинус угла не могут быть больше единицы.
6. Регулярно повторять базовые теоремы (Пифагора, синусов, косинусов) и свойства фигур, чтобы они применялись автоматически, без раздумий о том, «какую формулу использовать».