Задание 12: Планиметрия

Типичная формулировка: «В треугольнике ABC известно то-то, найдите то-то» или «В окружности с центром O известно то-то, найдите угол/длину/площадь». Часто прилагается схематичный рисунок, но иногда его нет — тогда чертёж нужно представить самостоятельно по описанию.

Задание оценивается в 1 балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, записывается без единиц измерения, без пробелов и лишних символов. Дробная часть отделяется запятой (например, 0,6). Времени на это задание в базовом варианте отводится немного, поэтому важно уметь решать его быстро — за 2–4 минуты.

• Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.
• В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают и делят основание пополам.
• Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2+b^2=c^2$, где $c$ — гипотенуза.
• Определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике: $\sin\alpha=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\tan\alpha=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
• Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
• Площадь треугольника: $S=\dfrac12\,a\,h_a$ (через основание и высоту) или $S=\dfrac12\,ab\sin C$ (через две стороны и угол между ними).
• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$, где $R$ — радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
• Свойства четырёхугольников: у параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам; у прямоугольника диагонали равны; у ромба диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов; у квадрата — все эти свойства одновременно.
• Сумма углов выпуклого $n$-угольника: $(n-2)\cdot180^\circ$.
• Свойства окружности: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, — прямой; касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; отрезки касательных из одной точки равны.

1. Внимательно прочитать условие и выписать все данные величины (стороны, углы, тангенс/синус/косинус, высоты).
2. Определить тип фигуры и её особые свойства — равнобедренность, вписанность в окружность, наличие прямого угла и т.д.
3. Если нужно, построить дополнительный элемент: высоту, диагональ, радиус — это часто превращает задачу в работу с прямоугольным треугольником.
4. Выбрать подходящую формулу или теорему, связывающую известные и искомые величины.
5. Подставить числовые данные и решить полученное уравнение.
6. Проверить полученный результат на здравый смысл: длина должна быть положительным числом, угол — от $0^\circ$ до $180^\circ$, и т.п.