Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

Шаг 1. Определяем геометрическое свойство хорды.

Поскольку MH = NH (точка H делит хорду MN пополам), а MO = NO = R (оба радиусы), треугольник MON равнобедренный. Медиана OH из вершины O к основанию MN совпадает с высотой, поэтому $OH \perp MN$. Следовательно, диаметр AB перпендикулярен хорде MN.

Шаг 2. Найдём MH по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике MHB (угол H прямой): $$MH^2 = MB^2 - HB^2 = 21^2 - 15^2 = 441 - 225 = 216$$

Шаг 3. Применяем свойство вписанного угла.

Угол AMB опирается на диаметр AB, поэтому $\angle AMB = 90°$. Треугольник AMB прямоугольный с прямым углом в M.

Шаг 4. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике.

В прямоугольном треугольнике AMB отрезок MH — высота из вершины прямого угла на гипотенузу AB. По теореме о среднем пропорциональном: $$MH^2 = AH \cdot HB$$

Поскольку AB — диаметр, $AB = 2R$. Тогда $AH = AB - HB = 2R - 15$.

Шаг 5. Составляем и решаем уравнение.

$$216 = (2R - 15) \cdot 15$$ $$216 = 30R - 225$$ $$30R = 441$$ $$R = 14,7$$