Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

Когда окружность вписана в угол, она касается обеих сторон угла. Обозначим центр окружности как $O$, а точки касания на сторонах угла как $A$ и $B$.

Шаг 1. Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания (это свойство касательной: радиус к точке касания перпендикулярен касательной). Поэтому $\angle OAC = 90°$ и $\angle OBC = 90°$.

Шаг 2. Рассмотрим четырёхугольник $OACB$. Сумма углов в четырёхугольнике равна $360°$: $$\angle OAC + \angle ACB + \angle CBO + \angle AOB = 360°$$

Шаг 3. Подставим известные значения: $$90° + 83° + 90° + \angle AOB = 360°$$

Шаг 4. Найдём угол $AOB$: $$\angle AOB = 360° - 90° - 83° - 90° = 97°$$

Угол между радиусами в центре окружности, проведёнными к точкам касания, дополняет угол при вершине угла до $180°$ (в смысле того, что два противоположных угла четырёхугольника с двумя прямыми углами в сумме дают $180°$).