ГлавнаяЕГЭ Математика (база)Задание 12Окружность

Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

ЕГЭ Математика (база)Задание 12Окружность

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 градусов, угол ABD равен 70 градусов. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

В подтеме 23 задач
Разбор
Главная идея: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается — используем это свойство последовательно для трёх углов, связав их через дуги окружности.

Используем свойство вписанного угла: каждый вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Шаг 1. Найдём дугу, на которую опирается угол ABC.

Угол ∠ABC=110°\angle ABC = 110° опирается на дугу ∪ADC\cup ADC (дугу от A к C через D). По свойству вписанного угла: ∪ADC=2⋅∠ABC=2⋅110°=220°\cup ADC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 110° = 220°

Шаг 2. Найдём дугу, на которую опирается угол ABD.

Угол ∠ABD=70°\angle ABD = 70° опирается на дугу ∪AD\cup AD: ∪AD=2⋅∠ABD=2⋅70°=140°\cup AD = 2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 70° = 140°

Шаг 3. Найдём дугу CD.

Дуга ADC состоит из дуг AD и DC: ∪CD=∪ADC−∪AD=220°−140°=80°\cup CD = \cup ADC - \cup AD = 220° - 140° = 80°

Шаг 4. Найдём угол CAD.

Угол ∠CAD\angle CAD опирается на дугу CD: ∠CAD=12∪CD=12⋅80°=40°\angle CAD = \frac{1}{2} \cup CD = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°

Типичные ошибки

  • Путают, на какую именно дугу опирается каждый угол — нужно помнить, что дуга берётся не по направлению луча, а по всей окружности между концами сторон угла.
  • Забывают, что дуга ADC проходит через точку D, и неправильно вычитают дуги — дуга CD получается как разность, а не сумма.
  • Считают, что дуги складываются неправильно, забывая, что точки лежат на окружности в определённом порядке.
Непонятно?

Похожие задачи