Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

Используем свойство вписанного угла: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Шаг 1. Найдём дугу $\cup AD$, на которую опирается угол $\angle ABD$.

Дугу $AD$ можно выразить через дугу полной окружности: $$\cup AD = \cup ADC - \cup CD$$

Шаг 2. Дугу $\cup ADC$ найдём через угол $\angle ABC$. Угол $ABC$ — вписанный и опирается на дугу $\cup ADC$, поэтому: $$\cup ADC = 2 \angle ABC = 2 \cdot 105° = 210°$$

Шаг 3. Дугу $\cup CD$ найдём через угол $\angle CAD$. Угол $CAD$ — вписанный и опирается на дугу $\cup CD$, поэтому: $$\cup CD = 2 \angle CAD = 2 \cdot 35° = 70°$$

Шаг 4. Вычислим дугу $\cup AD$: $$\cup AD = 210° - 70° = 140°$$

Шаг 5. Найдём угол $\angle ABD$. Этот угол вписанный и опирается на дугу $\cup AD$: $$\angle ABD = \frac{1}{2} \cup AD = \frac{1}{2} \cdot 140° = 70°$$