Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

Вспомним основное свойство: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Шаг 1: Выразим дуги через известные углы.

Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $\cup ADC$. По свойству вписанного угла: $$\cup ADC = 2\angle ABC = 2 \cdot 104° = 208°$$

Угол $\angle CAD$ опирается на дугу $\cup CD$. Аналогично: $$\cup CD = 2\angle CAD = 2 \cdot 66° = 132°$$

Шаг 2: Найдём дугу AD.

Дуга $\cup ADC$ состоит из дуг $\cup AD$ и $\cup CD$. Следовательно: $$\cup AD = \cup ADC - \cup CD = 208° - 132° = 76°$$

Шаг 3: Вычислим угол ABD.

Угол $\angle ABD$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $\cup AD$. Поэтому: $$\angle ABD = \frac{1}{2}\cup AD = \frac{1}{2} \cdot 76° = 38°$$

Ответ получается как разность половин двух известных дуг: $\frac{1}{2}(2\angle ABC - 2\angle CAD) = \angle ABC - \angle CAD = 104° - 66° = 38°$.