Задание 12 ЕГЭ, математика (база): Окружность

Шаг 1: Используем свойство вписанного угла

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Или можно сказать: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Шаг 2: Выразим дугу ADC через дуги AD и CD

Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $ADC$ (дугу от точки $A$ к точке $C$, проходящую через $D$). Значит: $$\angle ABC = \frac{1}{2}\cup ADC = \frac{1}{2}(\cup AD + \cup CD)$$

Шаг 3: Связываем дуги с известными углами

Угол $\angle ABD$ — вписанный, он опирается на дугу $AD$: $$\angle ABD = \frac{1}{2}\cup AD$$

Угол $\angle CAD$ — вписанный, он опирается на дугу $CD$: $$\angle CAD = \frac{1}{2}\cup CD$$

Шаг 4: Подставляем известные значения

Из условия $\angle ABD = 75°$ получаем $\cup AD = 2 \cdot 75° = 150°$

Из условия $\angle CAD = 35°$ получаем $\cup CD = 2 \cdot 35° = 70°$

Шаг 5: Вычисляем угол ABC

$$\angle ABC = \frac{1}{2}(\cup AD + \cup CD) = \frac{1}{2}(150° + 70°) = \frac{1}{2} \cdot 220° = 110°$$

Или кратче: $\angle ABC = \angle ABD + \angle CAD = 75° + 35° = 110°$