Задача 18: расстояние между точками — приём для параметра

О чём эта подтема

В некоторых системах задания 18 первое уравнение выглядит как сумма двух квадратных корней вида $\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=c$. Это не «страшное» уравнение с корнями, а геометрическое условие: сумма расстояний от точки $M(x,y)$ до двух фиксированных точек $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$ равна константе $c$. Такая запись задаёт либо эллипс с фокусами в точках $A$ и $B$, либо (в частном, но очень частом в этих задачах случае) отрезок $AB$.

Задача 18 почти всегда строится так: первое уравнение системы превращается в отрезок (или в эллипс), а второе уравнение — обычное квадратное уравнение с параметром относительно $x$. Условие «единственное решение системы» превращается в условие «ровно один корень второго уравнения попадает в найденный отрезок». Умение быстро увидеть геометрию первого уравнения экономит время и избавляет от громоздкой алгебры с корнями.

Что нужно знать

• Формула расстояния между точками: расстояние от $M(x,y)$ до $A(x_1,y_1)$ равно $\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}$.
• Геометрический смысл суммы двух расстояний: множество точек $M$, для которых $MA+MB=c$, где $A$ и $B$ — фиксированные точки:
• если $c>|AB|$ — это эллипс с фокусами $A,B$;
• если $c=|AB|$ — это отрезок $AB$ (вырожденный случай, важен именно он в большинстве задач ЕГЭ);
• если $c<|AB|$ — множество пусто.
• Умение находить расстояние между фокусами $A$ и $B$ по их координатам, чтобы сравнить его с $c$.
• Если фокусы имеют одинаковую координату (например, $y$-координата одна и та же), отрезок описывается просто: $y=a$, $x\in[x_1,x_2]$ — это резко упрощает подстановку во второе уравнение.
• Работа с квадратным уравнением, зависящим от параметра: дискриминант, теорема Виета (сумма и произведение корней), знак произведения корней как индикатор их знаков.
• Метод определения, лежит ли корень квадратного уравнения на заданном отрезке $[m;n]$, через знаки значения функции $f(x)=x^2+px+q$ на концах отрезка (без явного извлечения корня): если $f(m)\le 0$ и $f(n)\ge 0$ (при возрастании после положительного корня), то нужный корень находится в $[m;n]$.
• Умение решать квадратные неравенства и линейные неравенства с модулем относительно параметра $a$, а затем перебирать целые значения.

Как решать: метод и алгоритм

1. Распознать геометрию. Посмотреть на первое уравнение системы: если это сумма двух корней вида $\sqrt{(x-x_1)^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-a)^2}=c$, то это сумма расстояний от точки $(x,y)$ до точек $A(x_1,a)$ и $B(x_2,a)$.
2. Найти расстояние между фокусами. Обычно $A$ и $B$ лежат на одной горизонтальной (или вертикальной) прямой, поэтому $|AB|=|x_2-x_1|$.
3. Сравнить $c$ с $|AB|$. В задачах на эту подтему почти всегда получается $c=|AB|$ — тогда первое уравнение задаёт не эллипс, а отрезок, соединяющий $A$ и $B$.
4. Записать явное множество. Если $c=|AB|$ и фокусы лежат на прямой $y=a$, то первое уравнение эквивалентно $y=a,\; x\in[x_1,x_2]$.
5. Подставить во второе уравнение. Второе уравнение системы, как правило, квадратное относительно $x$ с параметром $a$. Задача сводится к вопросу: сколько корней этого уравнения лежит на отрезке $[x_1,x_2]$.
6. Исследовать квадратное уравнение. Найти дискриминант (обычно он положителен при всех $a$, значит корни всегда действительны и различны). По теореме Виета определить знак произведения корней — это подскажет, сколько корней положительно, сколько отрицательно.
7. Условие попадания в отрезок. Через значения функции $f(x)$ на концах отрезка $x_1$ и $x_2$ выяснить, при каких $a$ ровно один корень попадает в $[x_1,x_2]$.
8. Решить неравенство относительно $a$ и выбрать целые значения. Обычно неравенство квадратичное с модулем, легко решается и даёт конечный набор целых $a$.
9. Сформулировать ответ, убедившись, что при каждом найденном $a$ система действительно имеет ровно одну пару $(x,y)$.

Разбор примера

Пример 1. Найдите все целочисленные значения параметра $a$, при каждом из которых система $$\begin{cases}\sqrt{(x-1)^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-a)^2}=4,\\ x^2-|a+1|x-2a^2=3\end{cases}$$ имеет единственное решение.

Шаг 1. Левая часть первого уравнения — сумма расстояний от точки $(x,y)$ до точек $A(1,a)$ и $B(5,a)$.

Шаг 2. Расстояние между $A$ и $B$: $|AB|=\sqrt{(5-1)^2+0^2}=4$.

Шаг 3. Сумма расстояний равна 4, то есть в точности $|AB|$. Значит, первое уравнение задаёт не эллипс, а отрезок $AB$ — множество точек прямой $y=a$ между $x=1$ и $x=5$: $y=a,\; x\in[1,5]$.

Шаг 4. Подставляем $y=a$ во второе уравнение — оно уже не содержит $y$, значит остаётся условие на $x$: $x^2-|a+1|x-2a^2-3=0$, при этом нужно, чтобы среди решений было ровно одно значение $x$ из отрезка $[1,5]$ (тогда пара $(x,a)$ будет единственной).

Шаг 5. Обозначим $b=|a+1|\ge 0$ и рассмотрим $f(x)=x^2-bx-2a^2-3$. Дискриминант: $D=b^2+4(2a^2+3)=b^2+8a^2+12>0$ при любых $a$ — корни всегда действительны и различны, обозначим их $x_1<x_2$.

Шаг 6. По теореме Виета произведение корней $x_1x_2=-(2a^2+3)<0$ при любых $a$, значит один корень отрицательный, другой положительный. На отрезок $[1,5]$ (он весь положительный) может попасть только положительный корень $x_+=x_2$.

Шаг 7. Проверим значения $f$ на концах отрезка. $$f(1)=1-b-2a^2-3=-b-2a^2-2.$$ Поскольку $b\ge0$ и $a^2\ge0$, выражение $-b-2a^2-2<0$ всегда — значит $f(1)<0$ при любых $a$, то есть точка $x=1$ всегда лежит строго между корнями, а значит $x_+>1$ всегда выполняется.

Теперь второй конец: $$f(5)=25-5b-2a^2-3=22-5b-2a^2.$$ Чтобы положительный корень не «убежал» правее 5, нужно $f(5)\ge 0$: $$22-5b-2a^2\ge 0 \iff 5|a+1|+2a^2\le 22.$$

Шаг 8. Проверяем целые значения $a$:

• $a=0$: $5\cdot1+0=5\le22$ ✓
• $a=1$: $5\cdot2+2=12\le22$ ✓
• $a=-1$: $5\cdot0+2=2\le22$ ✓
• $a=-2$: $5\cdot1+8=13\le22$ ✓
• $a=2$: $5\cdot3+8=23>22$ ✗
• $a=-3$: $5\cdot2+18=28>22$ ✗

При $|a|\ge2$ (кроме $a=-2$) неравенство нарушается, дальше значения $a$ только увеличивают левую часть.

Ответ: $a\in\{-2,-1,0,1\}$ — совпадает с указанным ответом $-2,\pm1,0$.

Пример 2. Система $$\begin{cases}\sqrt{(x-2)^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-a)^2}=3,\\ x^2-|a+2|x-3a^2=5\end{cases}$$ решается той же схемой. Точки $A(2,a)$, $B(5,a)$, $|AB|=3$, сумма расстояний равна 3 — снова вырожденный случай, отрезок $y=a,\;x\in[2,5]$.

Подставляем в второе уравнение: $x^2-|a+2|x-3a^2-5=0$, обозначим $b=|a+2|$. Дискриминант $D=b^2+4(3a^2+5)>0$ всегда, произведение корней $x_1x_2=-(3a^2+5)<0$ — корни разных знаков, нас интересует положительный корень на $[2,5]$.

$f(2)=4-2b-3a^2-5=-2b-3a^2-1<0$ всегда — значит $x_+>2$ всегда выполняется.

$f(5)=25-5b-3a^2-5=20-5b-3a^2\ge0 \iff 5|a+2|+3a^2\le20.$

Проверка целых $a$: $a=0$: $10+0=10\le20$ ✓; $a=1$: $15+3=18\le20$ ✓; $a=-1$: $5+3=8\le20$ ✓; $a=-2$: $0+12=12\le20$ ✓; $a=2$: $20+12=32>20$ ✗; $a=-3$: $5+27=32>20$ ✗.

Ответ: $a\in\{-2,-1,0,1\}$, что совпадает с указанным ответом.

Типичные ошибки

• Не узнают в сумме двух корней сумму расстояний и пытаются возводить уравнение в квадрат «в лоб» — получают громоздкие выкладки вместо простого геометрического вывода.
• Забывают сравнить константу $c$ с расстоянием между точками $|AB|$ и сразу считают первое уравнение эллипсом, хотя в подавляющем большинстве задач ЕГЭ это именно отрезок ($c=|AB|$).
• Ошибаются в границах отрезка: путают, какая координата меньше, какая больше, получают отрезок $[x_2,x_1]$ вместо $[x_1,x_2]$ или наоборот меняют знаки неравенств.
• При анализе квадратного уравнения не проверяют знак произведения корней через теорему Виета, а сразу пытаются явно выразить корни через дискриминант — это удлиняет решение и увеличивает риск арифметической ошибки.
• Забывают, что нужен именно один корень на отрезке, а не «хотя бы один» или «оба» — путают условие единственности решения системы с условием существования решения.
• Не проверяют строгость неравенств на концах отрезка ($\le$ или $<$): пропуск этой детали может добавить или убрать граничные значения параметра.
• После получения неравенства на $a$ забывают, что нужны только целые значения, и выписывают весь непрерывный промежуток вместо конечного списка целых чисел.

На что обратить внимание на экзамене

• При виде суммы двух квадратных корней вида $\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}=c$ сразу проверяйте: чему равно расстояние между точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$, и сравнивайте его с $c$. Именно от этого зависит, отрезок перед вами или эллипс.
• Если получился отрезок, обязательно явно выпишите его как $y=a,\;x\in[x_1,x_2]$ (или аналогично для вертикального случая) — это резко упрощает дальнейшую работу со вторым уравнением.
• Для квадратного уравнения с параметром сначала проверяйте знак дискриминанта и знак произведения корней по теореме Виета — часто это сразу говорит о том, что корни разных знаков, и упрощает поиск нужного корня.
• Используйте метод знаков функции на концах отрезка ($f(m)$ и $f(n)$) вместо явного нахождения корней через формулу — это быстрее и надёжнее с параметром внутри корня.
• Внимательно следите за строгостью неравенств: если $f(1)<0$ доказано как строгое неравенство при всех $a$, это гарантирует, что граница отрезка никогда не совпадёт с корнем, и упрощает финальную оценку.
• После нахождения диапазона параметра обязательно указывайте, что берутся только целые значения, и перечисляйте их явно, а не оставляйте промежуток.
• Перед записью ответа подставьте хотя бы одно найденное значение $a$ обратно в систему и убедитесь, что решение действительно единственное — это страхует от ошибок в знаках или границах.