Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

1. Преобразуем второе уравнение. Запишем его как сумму двух корней: $$\sqrt{(x-1)^2+(a-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+a^2}=\sqrt5.$$ Это сумма расстояний от точки $M(x;a)$ до точек $A(1;1)$ и $B(3;0)$. Найдём расстояние между $A$ и $B$: $AB=\sqrt{(3-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt5$ — оно совпадает с правой частью.

2. Используем свойство расстояний. Сумма расстояний от точки до двух фиксированных точек равна расстоянию между этими точками только тогда, когда точка лежит на отрезке, их соединяющем (иначе по неравенству треугольника сумма была бы строго больше). Значит, $M$ лежит на отрезке $AB$, то есть удовлетворяет уравнению прямой через $A,B$: $a=\dfrac{3-x}{2}$, при $x\in[1;3]$.

3. Подставляем в первое уравнение. Из $2a=3-x$ получаем $32a\sqrt2=16(3-x)\sqrt2=2^{4,5}(3-x)$. Тогда уравнение $2^{1+x}=32a\sqrt2$ равносильно $2^{x-7/2}=3-x$, то есть $$2^{x-7/2}+x=3.$$

4. Анализируем монотонность. Функция $y=2^{x-7/2}+x$ — сумма возрастающей показательной и возрастающей линейной функций, значит она строго возрастает и принимает каждое значение не более одного раза. Подбором находим корень $x=\dfrac{5}{2}$: $2^{-1}+2,5=0,5+2,5=3$ — верно.

5. Проверяем область. $x=5/2\in[1;3]$ — подходит. Находим $a=\dfrac{3-5/2}{2}=\dfrac14$.

Таким образом решение единственно.