ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Расстояние между точками

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Расположение корней квадратного трехчленаПараметры: расстояние между точками

Найдите все целочисленные значения параметра а, при каждом из которых система

система выражений корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =4,x в квадрате минус |a плюс 1|x минус 2a в квадрате =3 конец системы .

имеет единственное решение.

В подтеме 7 задач
Разбор
Главная идея: Сумма расстояний от точки до двух фиксированных точек равна расстоянию между ними только на отрезке, соединяющем эти точки, поэтому первое уравнение задаёт отрезок y=a, 1≤x≤5y=a,\,1\le x\le5; далее задача сводится к попаданию единственного положительного корня квадратного уравнения в этот отрезок через условия f(1)≤0, f(5)≥0f(1)\le0,\ f(5)\ge0.

  1. Первое уравнение — это сумма расстояний от точки (x,y)(x,y) до точек A(1,a)A(1,a) и B(5,a)B(5,a): (x−1)2+(y−a)2+(x−5)2+(y−a)2=4\sqrt{(x-1)^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-a)^2}=4. Расстояние между AA и BB равно ∣5−1∣=4|5-1|=4, а сумма расстояний до двух точек не может быть меньше расстояния между ними, равна ей только если точка лежит на отрезке ABAB. Значит решения — все точки отрезка: y=a, 1≤x≤5y=a,\ 1\le x\le5.

  2. Подставляя y=ay=a, задача сводится к тому, чтобы уравнение f(x)=x2−∣a+1∣x−2a2−3=0f(x)=x^2-|a+1|x-2a^2-3=0 имело ровно один корень на [1,5][1,5].

  3. Свободный член −2a2−3<0-2a^2-3<0 при любом aa, значит по теореме Виета корни разного знака — положительный корень единственный. Он попадёт в [1,5][1,5] тогда и только тогда, когда f(1)≤0f(1)\le0 и f(5)≥0f(5)\ge0 (парабола ветвями вверх меняет знак ровно один раз на этом промежутке).

  4. f(1)=−2a2−2−∣a+1∣≤0f(1)=-2a^2-2-|a+1|\le0 выполняется всегда, так как все слагаемые неположительны.

  5. f(5)=22−2a2−5∣a+1∣≥0⇒5∣a+1∣≤22−2a2f(5)=22-2a^2-5|a+1|\ge0 \Rightarrow 5|a+1|\le22-2a^2. Отсюда обязательно 22−2a2≥022-2a^2\ge0, то есть a2≤11a^2\le11, значит целые a∈{−3,−2,−1,0,1,2,3}a\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.

  6. Проверяем каждое значение: для a=−3a=-3 и a=3a=3 неравенство не выполняется, для a=−2,−1,0,1a=-2,-1,0,1 — выполняется. Таким образом искомые целые значения параметра: −2,−1,0,1-2,-1,0,1.

Типичные ошибки

  • Не замечают, что сумма расстояний равна расстоянию между точками только на отрезке между ними, и решают первое уравнение как произвольную кривую.
  • Забывают учесть знак свободного члена квадратного трёхчлена, что корни разного знака, и не сокращают проверку до условий на концах отрезка.
  • При решении неравенства с модулем не учитывают ограничение 22−2a2≥022-2a^2\ge0, из-за чего теряют или добавляют лишние целые значения параметра.
Непонятно?

Похожие задачи