Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

1. Первое уравнение — это сумма расстояний от точки $(x,y)$ до точек $A(2,a)$ и $B(5,a)$: $|MA|+|MB|=3$. По неравенству треугольника сумма расстояний до двух точек всегда не меньше расстояния между ними, а $|AB|=3$. Значит равенство достигается только когда $M$ лежит на отрезке $AB$, то есть $y=a$, $2\le x\le5$.

2. Подставляя $y=a$, задача сводится к тому, чтобы второе уравнение $x^2-|a+2|x-3a^2=5$ имело ровно одно решение на отрезке $[2;5]$.

3. Рассмотрим $f(x)=x^2-|a+2|x-3a^2-5$ — параболу с ветвями вверх. Свободный член $-3a^2-5<0$ при любом $a$, значит корни функции разных знаков, и положительный корень единственный.

4. Единственный положительный корень попадает в $[2;5]$ тогда и только тогда, когда $f(2)\le0$ и $f(5)\ge0$ (парабола "опускается" ниже нуля к моменту $x=2$ и снова поднимается к $x=5$).

5. Подставляя: $4-2|a+2|-3a^2-5\le0$ и $25-5|a+2|-3a^2-5\ge0$. После упрощения оба неравенства объединяются в одно: $5|a+2|\le20-3a^2$.

6. Правая часть должна быть неотрицательной: $20-3a^2\ge0 \Rightarrow a^2\le \dfrac{20}{3}\approx6.67$. Для целых $a$ это даёт кандидатов $a\in\{-2,-1,0,1,2\}$.

7. Проверяем каждое значение в неравенстве $5|a+2|\le20-3a^2$:

• $a=-2$: $0\le8$ — верно;
• $a=-1$: $5\le17$ — верно;
• $a=0$: $10\le20$ — верно;
• $a=1$: $15\le17$ — верно;
• $a=2$: $20\le8$ — неверно.

Значит подходят $a=-2,-1,0,1$.