Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

Первое уравнение системы имеет вид $\sqrt{(x-a)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+a)^2}=|a\sqrt2|$.

Здесь $\sqrt{(x-a)^2+y^2}$ — расстояние от точки $M(x;y)$ до точки $A(a;0)$, а $\sqrt{x^2+(y+a)^2}$ — расстояние от $M$ до точки $B(0;-a)$. Значит, уравнение говорит, что сумма расстояний от $M$ до $A$ и $B$ равна $|AB|=\sqrt{a^2+a^2}=|a\sqrt2|$ (по формуле расстояния между точками $A(a;0)$ и $B(0;-a)$).

По неравенству треугольника сумма расстояний от точки до двух концов отрезка равна длине этого отрезка только тогда, когда точка лежит на самом отрезке $AB$. Значит, множество решений первого уравнения — это весь отрезок $AB$ (при $a\ne0$), а при $a=0$ точки $A$ и $B$ совпадают с началом координат, и решение единственно — точка $(0;0)$.

Второе условие $x^2+y^2\le18$ задаёт круг с центром в начале координат и радиусом $R=3\sqrt2$.

Чтобы вся система имела единственное решение, отрезок $AB$ должен пересекаться с этим кругом ровно в одной точке. Так как отрезок $AB$ симметричен относительно начала координат (концы $(a;0)$ и $(0;-a)$), его середина — точка $\left(\dfrac{a}{2};-\dfrac{a}{2}\right)$, а расстояние от неё до центра круга равно $$\sqrt{\left(\dfrac a2\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2}=\dfrac{|a|\sqrt2}{2}.$$

Единственная точка пересечения отрезка с кругом возможна в двух случаях:

1. отрезок вырождается в точку — это происходит при $a=0$;
2. отрезок касается границы круга ровно в одной точке — тогда из симметрии касание происходит в середине отрезка, и расстояние от середины до центра равно радиусу: $$\dfrac{|a|\sqrt2}{2}=3\sqrt2 \;\Rightarrow\; |a|=6 \;\Rightarrow\; a=6 \text{ или } a=-6.$$

Таким образом, единственное решение системы получается при $a=0$, $a=6$ и $a=-6$.