Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

Первое уравнение системы: $\sqrt{(x-1)^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-5)^2+(y-a)^2}=4$. Это сумма расстояний от точки $M(x;y)$ до точек $A(1;a)$ и $B(5;a)$. Расстояние между $A$ и $B$ равно $\sqrt{(5-1)^2+0^2}=4$. По неравенству треугольника $AM+BM\ge AB$, равенство достигается только когда $M$ лежит на отрезке $AB$. Значит первое уравнение задаёт отрезок $y=a,\; x\in[1;5]$.

Второе неравенство $2\le y\le 2+\sqrt{6x-x^2-5}$ описывает область между прямой $y=2$ и верхней полуокружностью $y=2+\sqrt{4-(x-3)^2}$ с центром $P(3;2)$ и радиусом 2 (после преобразования $6x-x^2-5=4-(x-3)^2$). Область существует при $x\in[1;5]$, а высота полуокружности максимальна ($=4$) при $x=3$ и падает до $2$ на концах $x=1$ и $x=5$.

Уравнения $\sin\pi x=0$ и $\sin\pi y=0$ означают, что $x=n$, $y=k$ — целые числа. Значит нужно искать целочисленные точки, лежащие одновременно на отрезке $y=a$ ($x=1,2,3,4,5$) и в указанной области.

Для каждого целого $x$ на отрезке высота допустимого $y$ ограничена сверху величиной $2+\sqrt{6x-x^2-5}$, а снизу — числом 2. Чтобы все пять целых значений $x=1,2,3,4,5$ попадали в область, нужно, чтобы $a$ удовлетворяло ограничению при $x=1$ и $x=5$, где верхняя граница равна ровно 2. Это возможно только при $a=2$.

При $a=2$ все пять точек $(1;2),(2;2),(3;2),(4;2),(5;2)$ лежат на отрезке $AB$ и удовлетворяют неравенству (нижняя граница совпадает с $y=2$), значит все они являются решениями системы — это максимум возможных решений.