Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

Шаг 1. Разбираемся с первым уравнением. Введём точки $A(-1;2)$, $B(2;-1)$, $M(x;y)$. Тогда $AM=\sqrt{(x+1)^2+(y-2)^2}$, $BM=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}$, а $AB=\sqrt{(2+1)^2+(-1-2)^2}=3\sqrt2$. Первое уравнение системы записывается как $AM+BM=AB$. По неравенству треугольника сумма двух расстояний равна расстоянию между точками только тогда, когда $M$ лежит на отрезке $AB$. Значит первое уравнение задаёт именно отрезок $AB$, а не всю прямую.

Шаг 2. Разбираемся со вторым уравнением. Уравнение $|y|+x^2=a$ распадается на две ветви: при $y\ge0$ — $y=a-x^2$, при $y<0$ — $y=x^2-a$. Это две параболы, «сшитые» на оси $Ox$.

Шаг 3. Ищем пересечение отрезка с кривой. Прямая $AB$: $y=1-x$, $x\in[-1;2]$. На части $x\in[-1;1]$ имеем $y\ge0$ (работает верхняя ветвь), на $x\in[1;2]$ — $y\le0$ (работает нижняя ветвь).

Единственное пересечение возникает в двух случаях:

1. Кривая проходит через один из концов отрезка — тогда при чуть больших/меньших $a$ она пересекает нужную часть ровно один раз. Через $A(-1;2)$ (верхняя ветвь): $2+1=a_1\Rightarrow a_1=3$. Через $B(2;-1)$ (нижняя ветвь): $1+4=a_2\Rightarrow a_2=5$. Это даёт промежуток $3<a\le5$ — здесь ровно одна общая точка.

2. Кривая касается прямой $AB$ в одной точке — тогда уравнение $1-x=a_3-x^2$, то есть $x^2-x+(1-a_3)=0$, имеет единственный корень: $D=1-4(1-a_3)=4a_3-3=0\Rightarrow a_3=0{,}75$.

Ответ: объединяем оба случая.