Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Расстояние между точками

Первое уравнение $\sqrt{(x+2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-a)^2}=\sqrt{4+a^2}$ — это сумма расстояний от точки $M(x,y)$ до точек $A(-2,0)$ и $B(0,a)$, а правая часть — расстояние $AB=\sqrt{4+a^2}$. По неравенству треугольника такая сумма равна $AB$ только когда $M$ лежит на отрезке $AB$. Значит первое уравнение задаёт весь отрезок $AB$ (при $y$, монотонно меняющемся от $0$ в точке $A$ до $a$ в точке $B$).

Второе уравнение $y=\dfrac{|6-a^2|}{5}$ — горизонтальная прямая. Она пересекает отрезок $AB$ ровно в одной точке тогда и только тогда, когда её высота лежит между высотами концов отрезка, то есть $0\le \dfrac{|6-a^2|}{5}\le a$ (при $a=0$ точки $A,B$ совпадают с осью, решений нет).

Решаем неравенство: умножаем на $5$: $|6-a^2|\le 5a$, что равносильно системе $$6-a^2\le5a,\qquad 6-a^2\ge-5a.$$ Первое даёт $a^2+5a-6\ge0\Rightarrow (a-1)(a+6)\ge0\Rightarrow a\ge1$ (при $a\ge0$). Второе даёт $a^2-5a-6\le0\Rightarrow (a+1)(a-6)\le0\Rightarrow a\le6$.

Объединяя, получаем $1\le a\le6$.