Задание 18 ЕГЭ (профиль): симметрии в задачах с параметром

О чём эта подтема

В задании 18 часто встречаются уравнения, где переменная $x$ входит в чётной степени или под модулем так, что при замене $x \to -x$ (а иногда $x \to 2x_0-x$) уравнение переходит само в себя. Такая симметрия — не украшение, а мощный инструмент: она позволяет заранее сказать, что корни уравнения расположены парами относительно некоторой точки, и свести вопрос о количестве решений к анализу только одной половины прямой. Особенно эффективно это работает в задачах вида «уравнение имеет единственное решение» или «не более одного решения» — именно такие формулировки прямо намекают на симметрию.

Что нужно знать

1. Понятие симметрии уравнения. Уравнение $F(x,a)=0$ называется симметричным относительно точки $x_0$, если замена $x \to 2x_0-x$ не меняет уравнение. Чаще всего в задачах 18 после подходящего обозначения параметра симметрия оказывается относительно $x_0=0$, то есть уравнение чётно: $F(-x,a)=F(x,a)$.

2. Главное следствие симметрии. Если $x_0+t$ — корень симметричного (относительно $x_0$) уравнения, то $x_0-t$ — тоже корень. Значит, корни, кроме самой точки симметрии, идут строго парами. Отсюда:

• если уравнение имеет единственный корень, этот корень обязан быть точкой симметрии;
• условие «единственное решение или отсутствие решений» равносильно тому, что нет корней, отличных от точки симметрии (достаточно проверить одну сторону, например $x>x_0$).

3. Полезное тождество с модулями. Для любых чисел выполняется $$|x-b|+|x+b|=2\max(|x|,|b|).$$ Оно мгновенно превращает громоздкую сумму модулей в компактную кусочную функцию и почти всегда используется вместе с симметрией.

4. Техника работы с кусочными функциями. Нужно уметь разбивать область на промежутки, где модуль или $\max$ раскрывается однозначно, и на каждом промежутке анализировать полученное гладкое уравнение через монотонность и оценку минимума/максимума.

5. Симметрия по параметру как проверка. Если параметр входит в уравнение через $(a-c)^2$ или $|a-c|$, ответ, скорее всего, будет симметричен относительно $a=c$. Это удобный способ проверить себя в конце.

Как решать: метод и алгоритм

1. Обнаружить симметрию. Подставить $x \to -x$ (или $x \to 2x_0-x$) в уравнение и убедиться, что оно не изменилось. Часто для этого нужно ввести обозначение $b=a-c$ и переписать уравнение так, чтобы чётность стала очевидной.

2. Перевести условие задачи на язык симметрии.

• «единственный корень» $\Rightarrow$ точка симметрии $x_0$ обязана быть корнем, а корней при $x>x_0$ быть не должно;
• «единственный корень или нет корней» $\Rightarrow$ достаточно потребовать отсутствия корней при $x>x_0$ (сам $x_0$ может быть корнем или не быть — оба варианта допустимы).

3. Проверить точку симметрии. Подставить $x=x_0$ в уравнение и получить простое условие на параметр (уравнение или неравенство).

4. Исследовать одну сторону ($x>x_0$). Используя тождество для модулей, разбить полупрямую на промежутки (обычно границей служит точка, где модуль меняет знак — например $x=|b|$), и на каждом промежутке получить гладкое уравнение. Найти, при каких значениях параметра оно не имеет решений на этом промежутке — как правило, через оценку минимума функции или монотонность.

5. Состыковать условия. Объединить условие из пункта 3 (что происходит в точке симметрии) и условие из пункта 4 (отсутствие «лишних» корней). Часто именно на этом шаге отсеиваются значения параметра, которые вроде бы дают корень в точке симметрии, но одновременно порождают ещё пару корней сбоку.

6. Проверить ответ на симметрию по параметру — это хороший способ убедиться, что ничего не потеряно.

Разбор примера

Пример 1

Уравнение: $$x^4+(a-3)^2=|x-a+3|+|x+a-3|.$$

Шаг 1. Обозначение и симметрия. Пусть $b=a-3$. Тогда $|x-a+3|=|x-b|$, $|x+a-3|=|x+b|$, и уравнение принимает вид $$x^4+b^2=|x-b|+|x+b|.$$ По тождеству $|x-b|+|x+b|=2\max(|x|,|b|)$, получаем $$x^4+b^2=2\max(|x|,|b|).$$ Левая и правая части зависят от $x$ только через $x^4$ и $|x|$ — обе чётные функции. Значит уравнение чётно: если $x_0$ — корень, то $-x_0$ тоже корень.

Шаг 2. Перевод условия. Требуется «единственное решение или отсутствие решений». По симметрии это равносильно: нет корней при $x>0$ (точка симметрии здесь $x_0=0$, она может быть корнем или не быть — оба варианта разрешены условием).

Шаг 3. Точку $x=0$ отдельно проверять не нужно — она не запрещена ни при каких $b$, важно только не допустить положительных корней.

Шаг 4. Анализ при $x>0$. Нужно, чтобы уравнение $$x^4+b^2=2\max(x,|b|)$$ не имело решений при $x>0$. Обозначим $t=|b|\ge 0$ и разобьём область на две зоны.

Зона $0<x\le t$ (здесь $\max=t$): уравнение $x^4=t(2-t)$. Функция слева монотонно растёт от $0$, справа — константа. Анализ показывает, что при $t\ge 2$ константа $t(2-t)\le 0$, поэтому решений с $x>0$ здесь нет; при $0<t<2$ возможны накладки, которые нужно сверить со следующей зоной.

Зона $x\ge t$ (здесь $\max=x$): уравнение $x^4-2x+t^2=0$. Функция $x^4-2x$ имеет минимум в точке $x=2^{-1/3}\approx 0{,}79$ со значением $\approx-1{,}19$. Если этот минимум попадает в зону (т.е. $t<0{,}79$), то при малых $t$ (в частности при $0<t<1$) уравнение обязательно имеет положительный корень — уравнение проходит через ноль.

Соединяя обе зоны, аккуратный перебор (проверка знаков на границах промежутков, в частности разложение $t^3+t-2=(t-1)(t^2+t+2)$) показывает: положительных корней нет тогда и только тогда, когда $t\ge 2$, то есть $|b|\ge 2$.

Шаг 5. Возврат к параметру. Из $|b|\ge 2$ и $b=a-3$ получаем $|a-3|\ge 2$, то есть $$a\le 1 \quad\text{или}\quad a\ge 5.$$ Это и есть ответ — он симметричен относительно $a=3$, что подтверждает правильность работы с чётностью.

Пример 2

Уравнение: $$x^2+(1-a)^2=|x-1+a|+|x-a+1|.$$

Шаг 1. Обозначение и симметрия. Пусть $b=a-1$. Тогда $|x-1+a|=|x+b|$, $|x-a+1|=|x-b|$, а $(1-a)^2=b^2$. Уравнение: $$x^2+b^2=|x-b|+|x+b|=2\max(|x|,|b|).$$ Снова обе части чётны по $x$ — уравнение симметрично относительно $x_0=0$.

Шаг 2. Перевод условия. Здесь требуется ровно один корень — вариант «нет решений» не подходит. По симметрии единственный корень может быть только $x=0$, и при этом на $x>0$ корней быть не должно.

Шаг 3. Проверка точки $x=0$. Подставляем: $0+b^2=2|b|$, то есть $$|b|(|b|-2)=0 \;\Rightarrow\; b=0 \ \text{или}\ |b|=2.$$ Это необходимое условие — без него $x=0$ вообще не будет корнем.

Шаг 4. Проверка на лишние корни при $x>0$ для каждого кандидата.

• $b=0$: уравнение $x^2=2|x|$, то есть $|x|(|x|-2)=0$, откуда $x=0$ или $x=\pm 2$. Появились ещё корни $x=2,\,x=-2$ — единственности нет. Значение $b=0$ отбрасываем.

• $t=|b|=2$: при $0<x<2$ имеем $\max(x,2)=2$, уравнение $x^2+4=4\Rightarrow x=0$ — не входит в промежуток, корней нет. При $x\ge 2$: $\max=x$, уравнение $x^2-2x+4=0$, дискриминант $4-16=-12<0$ — действительных корней нет. Значит при $|b|=2$ корней при $x>0$ действительно нет, а $x=0$ — корень. Единственность подтверждена.

Шаг 5. Возврат к параметру. Из $b=a-1=\pm 2$ получаем $$a=3 \quad \text{или} \quad a=-1.$$ Ответ симметричен относительно $a=1$ — как и должно быть, поскольку $b=a-1$.

Типичные ошибки

• Симметрия «на глаз». Утверждают, что уравнение чётно, без проверки подстановкой $x\to-x$; в реальности лишний знак или неверно выделенный параметр может нарушить симметрию.
• Забывают проверить «вторую сторону». Найдя условие на точку симметрии, не проверяют, не появляются ли при тех же значениях параметра дополнительные (парные) корни — именно так теряется правильный ответ в примерах вроде $b=0$ во втором примере.
• Путают формулировки «единственное решение» и «единственное решение или его отсутствие». Это разные условия: во втором случае точка симметрии не обязана быть корнем, а в первом — обязана. Ошибка в чтении условия сразу даёт неверный набор значений параметра.
• Ошибки при раскрытии $|x-b|+|x+b|$. Забывают тождество $2\max(|x|,|b|)$ и раскрывают модули «в лоб» по четырём случаям, теряя часть промежутков или знаков.
• Не проверяют границы промежутков. Точка $x=|b|$, где меняется формула для $\max$, — критическое место, где легко пропустить корень или неверно определить знак функции.
• Игнорируют симметрию ответа по параметру. Если в конце ответ получился «однобоким» (например, только $a\ge 5$ без $a\le1$), а исходное уравнение зависело от $(a-3)^2$, стоит перепроверить решение — скорее всего, потеряна вторая ветвь.

На что обратить внимание на экзамене

• Сразу проверяйте подстановкой, симметрично ли уравнение — это экономит время и сразу подсказывает стратегию.
• Держите под рукой тождество $|x-b|+|x+b|=2\max(|x|,|b|)$ — оно почти всегда упрощает работу с модулями в таких задачах.
• Внимательно читайте формулировку: «единственное решение», «не более одного решения», «единственное решение или отсутствие решений» — это разные условия, дающие разные ответы.
• После получения ответа проверяйте его на симметрию относительно центра параметра (например, относительно $a=3$ или $a=1$) — несимметричный ответ почти всегда сигнал об ошибке.
• Не забывайте отдельно разбирать точку симметрии и обе стороны от неё — пропуск одной из зон часто приводит к неполному ответу.
• Проверяйте граничные значения параметра (там, где переходят через ноль ключевые выражения) прямой подстановкой в исходное уравнение — это самый надёжный способ отловить ошибку.