Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Так как $AA_1\perp BC$ и $CC_1\perp AB$, углы $AA_1C$ и $AC_1C$ прямые, значит $A_1,C_1$ лежат на окружности с диаметром $AC$ — четырёхугольник $AC_1A_1C$ вписан. Из этого $\angle BAC+\angle CA_1C_1=180^\circ$, а поскольку $B,A_1,C$ лежат на одной прямой, $\angle BA_1C_1=180^\circ-\angle CA_1C_1=\angle BAC$. С другой стороны, угол между касательной $BL$ и хордой $BC$ равен вписанному углу $\angle BAC$ (свойство касательной). Значит $\angle LBC=\angle BA_1C_1$, а это равные накрест лежащие углы при секущей $BC$ для прямых $BL$ и $A_1C_1$ — прямые параллельны.

б) Из прямоугольных треугольников с углом $30^\circ$ (следует из $\angle B=60^\circ$) получаем $HA_1=\tfrac12HC,\;HC_1=\tfrac12HA,\;A_1B=\tfrac12AB,\;BC_1=\tfrac12BC$. Тогда $\dfrac{S_{ABC}}{S_{A_1BC_1}}=\dfrac{AB\cdot BC}{A_1B\cdot BC_1}=4$, отсюда $S_{ABC}=80\sqrt3$, а площадь $AC_1A_1C=60\sqrt3$.

Четырёхугольник $BC_1HA_1$ вписан (углы при $C_1$ и $A_1$ прямые), поэтому $\angle A_1HC_1=180^\circ-\angle B=120^\circ$. Пусть $HC_1=x,\,HA_1=y$, тогда $HA=2x,\,HC=2y$.

Площадь $AC_1A_1C=\dfrac12 AA_1\cdot CC_1\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{4}(2x+y)(2y+x)=60\sqrt3\Rightarrow (2x+y)(2y+x)=240\Rightarrow 3xy=240-2(x^2+xy+y^2).\;(*)$

Треугольники $ABC$ и $A_1BC_1$ подобны с коэффициентом $\tfrac12$ (площади в 4 раза отличаются), значит $A_1C_1=\dfrac{AC}{2}=6\sqrt3$. По теореме косинусов в $\triangle HA_1C_1$: $A_1C_1^2=x^2+y^2-2xy\cos120^\circ=x^2+xy+y^2=108$.

Подставляя в $(*)$: $3xy=240-216=24\Rightarrow xy=8$.

Искомая площадь: $S_{HA_1C_1}=\dfrac12 xy\sin120^\circ=\dfrac12\cdot8\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3$.