Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) По теореме синусов для треугольника $ABC$: $BC=2R\sin A=2AO\sin120^\circ=AO\sqrt3$, так как $AO=R$ — радиус описанной окружности.

Поскольку $\angle AMH=\angle ANH=90^\circ$ (M, N — основания высот), точки $A,M,H,N$ лежат на окружности с диаметром $AH$. По теореме синусов для треугольника $AMN$: $MN=AH\sin\angle MAN=AH\sin120^\circ=AH\dfrac{\sqrt3}{2}$ (угол $MAN$ совпадает с углом $A$).

В прямоугольных треугольниках $ABM$ и $ACN$ угол при $A$, прилежащий к высоте, равен $180^\circ-120^\circ=60^\circ$, поэтому $AM=AB\cos60^\circ=\dfrac{AB}{2}$, $AN=\dfrac{AC}{2}$. Значит $\triangle AMN\sim\triangle ABC$ с коэффициентом $\dfrac12$, откуда $MN=\dfrac12BC$.

Подставляя, получаем $\dfrac{\sqrt3}{2}AH=\dfrac12\cdot AO\sqrt3\Rightarrow AH=AO$, что и требовалось доказать.

б) Угол $C=180^\circ-120^\circ-45^\circ=15^\circ$. По теореме о центральном угле $\angle BOA=2\angle BCA=30^\circ$. Треугольник $ABO$ равнобедренный ($OA=OB=R$), поэтому $\angle BAO=\dfrac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ$.

Так как угол $A$ тупой, точка $H$ (пересечение высот) лежит вне треугольника, и угол между $AB$ и прямой $AH$ равен $90^\circ+\angle B=90^\circ+45^\circ=135^\circ$ (это дополнение к обычной формуле $90^\circ-\angle B$ для острого угла $A$).

Лучи $AO$ и $AH$ расположены по разные стороны от $AB$, поэтому $\angle HAO=360^\circ-135^\circ-75^\circ=150^\circ$.

По пункту а) $AH=AO=\dfrac{BC}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt3}=\sqrt5$.

Площадь треугольника $AHO$: $S=\dfrac12\cdot AH\cdot AO\cdot\sin\angle HAO=\dfrac12\cdot5\cdot\sin150^\circ=\dfrac12\cdot5\cdot\dfrac12=\dfrac54$.