Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Высоты BN и CM образуют прямые углы в точках N и M, поэтому четырёхугольник BMNC вписан в окружность с диаметром BC (сумма противоположных углов равна $180^\circ$). Значит $\angle ANM=180^\circ-\angle MNC=\angle ABC$. Треугольник AMC прямоугольный ($CM\perp AB$), поэтому $AM=AC\cos A$, то есть коэффициент подобия $\triangle ANM\sim\triangle ABC$ равен $k=\dfrac{AM}{AC}=\cos60^\circ=\dfrac12$. Радиус окружности около $\triangle ANM$ равен $k\cdot R=\dfrac{R}{2}=\dfrac{AO}{2}$ (так как $AO=R$). С другой стороны, $BN\perp AC$ и $CM\perp AB$ дают $\angle ANH=\angle AMH=90^\circ$, значит A, N, H, M лежат на окружности с диаметром AH, и радиус этой окружности $\dfrac{AH}{2}$ совпадает с радиусом окружности вокруг $\triangle ANM$. Отсюда $\dfrac{AH}{2}=\dfrac{AO}{2}\Rightarrow AH=AO$.

б) $\angle ACB=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ$. По теореме о центральном угле $\angle AOB=2\angle ACB=150^\circ$, а из равнобедренного $\triangle AOB$ ($OA=OB=R$) получаем $\angle OAB=\dfrac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ$. Основание высоты из A образует с AC угол $\angle CAH=90^\circ-\angle ACB=15^\circ$. Тогда $\angle HAO=\angle CAB-\angle CAH-\angle OAB=60^\circ-15^\circ-15^\circ=30^\circ$. Так как $AH=AO=R$, площадь $S_{AHO}=\dfrac12 AH\cdot AO\sin30^\circ=\dfrac{R^2}{4}$. По теореме синусов $\dfrac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow \dfrac{6\sqrt3}{\sin60^\circ}=12=2R\Rightarrow R=6$. Значит $S_{AHO}=\dfrac{36}{4}=9$.