Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Проведём высоту $AA_1$. Поскольку $\angle BC_1C=\angle CB_1B=90^\circ$, точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $BC$ — значит, четырёхугольник $BC_1B_1C$ вписанный. Вписанные углы $\angle BB_1C_1$ и $\angle BCC_1$ опираются на одну и ту же дугу $BC_1$, поэтому $\angle BB_1C_1=\angle BCC_1$.

В прямоугольном треугольнике $BCC_1$ (угол $C_1=90^\circ$) $\angle BCC_1+\angle ABC=90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABA_1$ (угол $A_1=90^\circ$) $\angle BAH+\angle ABC=90^\circ$ (так как $H$ лежит на $AA_1$, $\angle BAH=\angle BAA_1$). Значит $\angle BCC_1=\angle BAH$, а тогда $\angle BB_1C_1=\angle BAH$, что и требовалось доказать.

б) Треугольник $A_1B_1C_1$, образованный основаниями высот (ортотреугольник), подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $|\cos\angle BAC|$ относительно стороны $BC$ и отрезка $B_1C_1$: $$\dfrac{B_1C_1}{BC}=|\cos\angle BAC|.$$ Отсюда $BC=\dfrac{B_1C_1}{\cos60^\circ}=\dfrac{6}{1/2}=12$.

По теореме синусов для треугольника $ABC$: $$\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}=2R \Rightarrow R=\dfrac{12}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=4\sqrt3.$$

Центр $O$ описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к $BC$, значит расстояние $OM$ от $O$ до $BC$ — катет прямоугольного треугольника $OMC$, где $OC=R$, $MC=\dfrac{BC}{2}=6$. По теореме Пифагора: $$OM=\sqrt{R^2-MC^2}=\sqrt{48-36}=\sqrt{12}=2\sqrt3.$$