Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Точки $C_1$ и $B_1$ — основания высот, поэтому $\angle AC_1H=\angle AB_1H=90^\circ$. Значит, оба угла опираются на отрезок $AH$ под прямым углом, то есть точки $A,C_1,H,B_1$ лежат на одной окружности с диаметром $AH$ (по признаку вписанного угла, равного $90^\circ$). В этой окружности углы $\angle C_1AH$ и $\angle C_1B_1H$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $C_1H$, поэтому они равны: $\angle C_1AH=\angle C_1B_1H$. Но $\angle C_1AH=\angle BAH$, а $\angle C_1B_1H=\angle BB_1C_1$ (это один и тот же угол, только по-другому обозначенный). Отсюда $\angle BAH=\angle BB_1C_1$, что и требовалось.

б) Так как $BB_1\perp AC$, то $AB_1=AB\cos60^\circ=\dfrac{AB}{2}$, аналогично $AC_1=\dfrac{AC}{2}$. Значит, треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны (общий угол $A$, стороны пропорциональны с коэффициентом $\dfrac12$), поэтому $BC=2B_1C_1=24$.

Пусть $O$ — центр описанной окружности, $D$ — середина $BC$, тогда $OD\perp BC$ и $BD=12$. Центральный угол $\angle BOC=2\angle BAC=120^\circ$, значит в равнобедренном треугольнике $OBC$ угол при основании $\angle OBD=30^\circ$. Тогда $$OD=BD\cdot\tan30^\circ=12\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=4\sqrt3.$$

Ответ: $OD=4\sqrt3$.