Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Точки $P$ и $Q$ — основания высот, значит $\angle APC=90^\circ$ и $\angle AQC=90^\circ$. Оба угла опираются на отрезок $AC$ и равны $90^\circ$, поэтому точки $A,Q,P,C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$ (по теореме о вписанном угле, равном половине дуги, здесь дуга $AC$ соответствует прямому углу). В этой окружности углы $\angle PAC$ и $\angle PQC$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $PC$, значит они равны: $\angle PAC=\angle PQC$.

б) Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABP$ и $CBQ$: у них прямой угол при $P$ и $Q$ соответственно, и общий угол $\angle ABC$. По признаку подобия (два угла) $\triangle ABP\sim\triangle CBQ$, откуда $$\frac{BQ}{BP}=\frac{BC}{BA}\ \Rightarrow\ \frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{BA}.$$ Это значит, что стороны $BQ,BP$ треугольника $BQP$ пропорциональны сторонам $BC,BA$ треугольника $BCA$ с тем же углом между ними ($\angle B$ общий), поэтому $\triangle BAC\sim\triangle BPQ$ с коэффициентом $$k=\frac{BQ}{BC}=\frac{BP}{BA}=\cos\angle ABC,$$ так как $BP=BC\cos B$ и $BQ=BA\cos B$ (проекции сторон на прилежащий угол).

Из подобия $AC=\dfrac{PQ}{k}=\dfrac{PQ}{\cos\angle ABC}=\dfrac{8}{\cos60^\circ}=16.$

Теперь по теореме синусов для треугольника $ABC$: $$R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{16}{2\sin60^\circ}=\frac{16}{\sqrt3}.$$