Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Точки $A$ и $B$ — основания высот, значит углы $\angle KAN=90^\circ$ и $\angle KBN=90^\circ$. Оба угла опираются на один и тот же отрезок $KN$ и равны $90^\circ$, поэтому точки $A,B,N,K$ лежат на одной окружности с диаметром $KN$ (по признаку вписанного угла: если два угла, опирающиеся на отрезок с одной стороны, равны, то концы отрезка и вершины углов лежат на одной окружности). В этой окружности углы $\angle ABK$ и $\angle ANK$ — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $AK$, значит они равны: $\angle ABK=\angle ANK$.

б) Треугольники $KMB$ и $NMA$ прямоугольные (углы при $A$ и $B$ равны $90^\circ$) и имеют общий угол $\angle KMN$, значит они подобны. Из подобия следует $\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{MN}{MK}$, что можно переписать как $\dfrac{AM}{MN}=\dfrac{BM}{MK}$. Это означает, что треугольники $KMN$ и $BMA$ подобны (по двум сторонам и общему углу $\angle KMN=\angle BMA$), причём коэффициент подобия $k=\dfrac{BM}{MK}=\cos\angle KMN$ (так как в прямоугольном треугольнике $KMB$ $\cos\angle KMB=\dfrac{BM}{KM}$).

Отсюда $AB=KN\cdot\cos\angle KMN=8\sqrt2\cdot\cos45^\circ=8\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=8$.

Угол $\angle AMB=\angle KMN=45^\circ$ (из подобия треугольников $KMN$ и $BMA$). По теореме синусов для треугольника $ABM$: $$R=\dfrac{AB}{2\sin\angle AMB}=\dfrac{8}{2\sin45^\circ}=\dfrac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2.$$