Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Пусть $R=AO$ — радиус окружности, описанной около $ABC$. По теореме синусов для треугольника $ABC$: $BC=2R\sin A=2AO\sin120^\circ=AO\sqrt3$.

Точки $M$ и $N$ — основания высот, поэтому $\angle AMH=\angle ANH=90^\circ$: обе прямые $BM$ и $CN$ перпендикулярны сторонам, значит четырёхугольник $AMHN$ вписан в окружность с диаметром $AH$ (углы, опирающиеся на $AH$, равны $90^\circ$). Радиус этой окружности $R_1=AH/2$.

В треугольнике $AMN$ угол при вершине $A$ такой же, как в $ABC$ (равен $120^\circ$), поэтому по теореме синусов $MN=2R_1\sin120^\circ=AH\sin120^\circ=AH\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Треугольники $AMN$ и $ABC$ подобны: $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\cos60^\circ=\dfrac12$ (так как $M,N$ — проекции на стороны при угле $60^\circ$ от продолжения). Отсюда коэффициент подобия $1/2$, значит $MN=\dfrac12 BC$.

Подставляя выражения для $MN$: $\dfrac{\sqrt3}{2}AH=\dfrac12\cdot AO\sqrt3 \;\Rightarrow\; AH=AO$, что и требовалось доказать.

б) По теореме о вписанном угле $\angle COA=2\angle ABC=30^\circ$. Так как $OA=OC$ (радиусы), треугольник $AOC$ равнобедренный, значит $\angle CAO=\dfrac{180^\circ-30^\circ}{2}=75^\circ$.

В треугольнике $ABC$ $\angle ACB=180^\circ-120^\circ-15^\circ=45^\circ$, и этот же угол равен углу между высотой $AH$-линией и стороной $AC$ (обозначен как $\angle CAE$ в разборе), то есть $\angle CAE=45^\circ$.

Угол между $AH$ и $AO$ находится как $\angle HAO=180^\circ-(\angle CAO-\angle CAE)=180^\circ-(75^\circ-45^\circ)=150^\circ$.

Из пункта а) $AH=AO=\dfrac{BC}{\sqrt3}=\dfrac{3}{\sqrt3}=\sqrt3$.

Площадь треугольника $AHO$: $$S=\frac12\cdot AH\cdot AO\cdot\sin\angle HAO=\frac12\cdot(\sqrt3)^2\cdot\sin150^\circ=\frac12\cdot3\cdot\frac12=\frac34.$$