Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Доказательство. Пусть $\angle KLM=\alpha$. Тогда сумма двух других углов треугольника $KLM$ равна $$\angle LKM+\angle LMK=180^\circ-\alpha.$$ Внешние углы при $K$ и $M$ равны $180^\circ-\angle LKM$ и $180^\circ-\angle LMK$. Точка $N$ — точка пересечения биссектрис этих внешних углов, поэтому $$\angle NKM+\angle NMK=\frac12\big(360^\circ-(180^\circ-\alpha)\big)=90^\circ+\frac{\alpha}{2}.$$ Отсюда угол в треугольнике $KNM$: $$\angle KNM=180^\circ-\left(90^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)=90^\circ-\frac{\alpha}{2}.$$ Так как $O$ — центр окружности, проходящей через $K,N,M$, центральный угол, опирающийся на ту же дугу $KM$, вдвое больше вписанного: $$\angle KOM=2\angle KNM=180^\circ-\alpha.$$ Тогда $$\angle KOM+\angle KLM=(180^\circ-\alpha)+\alpha=180^\circ,$$ т.е. в четырёхугольнике $KLMO$ противоположные углы в сумме дают $180^\circ$. По признаку вписанного четырёхугольника точки $K,L,M,O$ лежат на одной окружности.

б) Вычисление радиуса. При $\angle KLM=120^\circ$ получаем $\angle KOM=180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Точка $O$ — центр окружности через $K,N,M$, значит $OK=OM$ (радиусы), и треугольник $KOM$ с углом $60^\circ$ между равными сторонами — равносторонний, то есть $KM=OK=OM$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$, поэтому $$S_{KOM}=\frac{\sqrt3}{4}KO^2=27\sqrt3 \ \Rightarrow\ KO^2=108\ \Rightarrow\ KO=6\sqrt3.$$ Следовательно, $KM=6\sqrt3$.

Теперь применяем теорему синусов к треугольнику $KLM$: $$\frac{KM}{\sin\angle KLM}=2R \ \Rightarrow\ 2R=\frac{6\sqrt3}{\sin120^\circ}=\frac{6\sqrt3}{\frac{\sqrt3}{2}}=12.$$ Отсюда $R=6$.