ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Описанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}Окружности и треугольники

В треугольнике ABC биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O, величина угла AOC составляет 120°.

а)  Докажите, что около четырехугольника BDOE можно описать окружность.

б)  Найдите площадь треугольника ABC, если BC=4, а \angle BED=75 градусов.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Через сумму углов треугольника AOC найти угол B, доказать вписанность BDOE по сумме противоположных углов, затем через вписанные углы и внешний угол найти угол A и решить прямоугольный треугольник.
  1. В треугольнике AOCAOC сумма углов равна 180∘180^\circ, поэтому ∠OAC+∠OCA=180∘−120∘=60∘\angle OAC+\angle OCA=180^\circ-120^\circ=60^\circ. Так как ADAD и CECE — биссектрисы, ∠OAC=12∠A\angle OAC=\tfrac12\angle A, ∠OCA=12∠C\angle OCA=\tfrac12\angle C, значит ∠A+∠C=120∘\angle A+\angle C=120^\circ, а ∠B=180∘−120∘=60∘\angle B=180^\circ-120^\circ=60^\circ.
  2. Угол ∠EOD\angle EOD вертикален углу ∠AOC\angle AOC, значит ∠EOD=120∘\angle EOD=120^\circ. Тогда ∠EOD+∠EBD=120∘+60∘=180∘\angle EOD+\angle EBD=120^\circ+60^\circ=180^\circ — сумма противоположных углов четырёхугольника BDOEBDOE равна 180∘180^\circ, следовательно около него можно описать окружность.
  3. OO — точка пересечения биссектрис, значит BOBO тоже биссектриса угла BB: ∠DBO=12∠ABC=30∘\angle DBO=\tfrac12\angle ABC=30^\circ.
  4. В окружности, описанной около BDOEBDOE, углы ∠DBO\angle DBO и ∠DEO\angle DEO опираются на одну дугу DODO, поэтому ∠DEO=30∘\angle DEO=30^\circ.
  5. Точки A,E,BA,E,B лежат на одной прямой, поэтому ∠AEO=180∘−(∠BED+∠DEO)=180∘−(75∘+30∘)=75∘\angle AEO=180^\circ-(\angle BED+\angle DEO)=180^\circ-(75^\circ+30^\circ)=75^\circ.
  6. По теореме о внешнем угле для треугольника AEOAEO: ∠EAO=∠AOC−∠AEO=120∘−75∘=45∘\angle EAO=\angle AOC-\angle AEO=120^\circ-75^\circ=45^\circ, значит ∠BAC=2∠EAO=90∘\angle BAC=2\angle EAO=90^\circ.
  7. Треугольник ABCABC прямоугольный (∠A=90∘\angle A=90^\circ), ∠B=60∘\angle B=60^\circ, ∠C=30∘\angle C=30^\circ, гипотенуза BC=4BC=4. Тогда AB=BCcos⁡60∘=2AB=BC\cos60^\circ=2, AC=BCsin⁡60∘=23AC=BC\sin60^\circ=2\sqrt3.
  8. S=12⋅AB⋅AC=12⋅2⋅23=23S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC=\dfrac12\cdot2\cdot2\sqrt3=2\sqrt3.

Типичные ошибки

  • Неправильно находят угол B, не учитывая, что углы при вершинах A и C делятся биссектрисами пополам
  • Забывают, что вертикальные углы равны, и неверно считают сумму противоположных углов четырёхугольника
  • Ошибочно применяют теорему о вписанном угле, перепутав дугу, на которую опираются углы DBO и DEO
Непонятно?

Похожие задачи