Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) AD — биссектриса угла A, поэтому $\angle DAE=\angle DAC$. Точки A, E, D, C лежат на одной окружности, а вписанные углы $\angle DAE$ и $\angle DAC$ опираются на дуги DE и DC. Равные вписанные углы стягивают равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами, значит $DE=DC$. Следовательно, треугольник CDE — равнобедренный.

б) В треугольнике ABC по теореме косинусов: $$\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{64+36-49}{2\cdot8\cdot6}=\frac{17}{32}.$$

Четырёхугольник AEDC вписан в окружность, значит его противоположные углы (при A и при D) в сумме дают $180^\circ$: $\angle EDC=180^\circ-\angle EAC=180^\circ-\angle BAC$. Поэтому $$\sin\angle CDE=\sin(180^\circ-\angle BAC)=\sin\angle BAC=\sqrt{1-\left(\frac{17}{32}\right)^2}=\frac{7\sqrt{15}}{32}.$$

По свойству биссектрисы треугольника $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$, а $BD+DC=BC=7$. Отсюда $DC=3$ (и $BD=4$). Так как треугольник CDE равнобедренный, $DE=DC=3$.

Теперь находим площадь: $$S_{CDE}=\frac12\cdot CD\cdot DE\cdot\sin\angle CDE=\frac12\cdot3\cdot3\cdot\frac{7\sqrt{15}}{32}=\frac{63\sqrt{15}}{64}.$$