Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол при $H$ равен $90^\circ$, а угол $B=45^\circ$, значит и $\angle BAH=90^\circ-45^\circ=45^\circ$. Так как $D$ лежит на продолжении высоты $AH$, угол $\angle BAD=\angle BAH=45^\circ$. По теореме о вписанном угле, углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ опираются на одну дугу $BD$, поэтому $\angle BCD=\angle BAD=45^\circ$. Получаем $\angle ABC=\angle DCB=45^\circ$ — это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BC$, следовательно $AB\parallel CD$.

б) Так как треугольник $ABH$ равнобедренный ($\angle B=\angle BAH=45^\circ$), $AH=BH$. Пусть $CH=x$, тогда $BH=8-x$, значит $AH=8-x$.

Поскольку $CD\parallel AB$, угол $\angle DCH=\angle ABC=45^\circ$, а угол при $H$ в треугольнике $CHD$ прямой (так как $AH\perp BC$). Значит треугольник $CHD$ тоже равнобедренный прямоугольный, и $DH=CH=x$.

Тогда $AD=AH+HD=(8-x)+x=8$.

Площадь треугольника $CAD$: $S_{CAD}=\dfrac{AD\cdot CH}{2}=\dfrac{8x}{2}=4x=12$, откуда $x=3$.

Таким образом $AH=8-3=5$, $CH=3$, и по теореме Пифагора $$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}.$$