ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Описанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}Окружность, описанная вокруг треугольника

В треугольнике ABC продолжения высоты CC1 и биссектрисы BB1 пересекают описанную окружность в точках N и М соответственно, \angle A B C=40 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка и \angle A C B=85 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .

а)  Докажите, что ВM   =   CN.

б)  Прямые BC и MN пересекаются в точке D. Найдите площадь треугольника BDN, если его высота ВН равна 6.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Через вписанные углы найти углы треугольника BDN (75°,75°,30°), установить равнобедренность BD=ND, а затем вычислить стороны через высоту и синус угла при основании, после чего найти площадь по формуле через две стороны и синус угла между ними.

а) В треугольнике угол при вершине A равен ∠BAC=180∘−40∘−85∘=55∘\angle BAC=180^\circ-40^\circ-85^\circ=55^\circ. Высота CC1CC_1 образует с CACA угол ∠ACC1=90∘−∠A=35∘\angle ACC_1=90^\circ-\angle A=35^\circ (из прямоугольного треугольника ACC1ACC_1). Вписанный угол, опирающийся на дугу ANAN, равен этому же углу, значит ⌣AN=2⋅35∘=70∘\smile AN=2\cdot35^\circ=70^\circ. Дуга AC=2∠ABC=80∘AC=2\angle ABC=80^\circ, поэтому ⌣CAN=⌣CA+⌣AN=80∘+70∘=150∘\smile CAN=\smile CA+\smile AN=80^\circ+70^\circ=150^\circ.

Аналогично, биссектриса делит угол BB пополам, ∠ABM=∠MBC=20∘\angle ABM=\angle MBC=20^\circ, значит ⌣CM=2⋅20∘=40∘\smile CM=2\cdot20^\circ=40^\circ. Дуга BC=2∠A=110∘BC=2\angle A=110^\circ, тогда ⌣BCM=⌣BC+⌣CM=110∘+40∘=150∘\smile BCM=\smile BC+\smile CM=110^\circ+40^\circ=150^\circ.

Получаем ⌣CAN=⌣BCM=150∘\smile CAN=\smile BCM=150^\circ — равные дуги стягивают равные хорды, значит CN=BMCN=BM.

б) Найдём углы треугольника BDNBDN. Угол ∠BNC=∠BAC=55∘\angle BNC=\angle BAC=55^\circ (вписанные углы на дугу BCBC), а ∠CNM=∠CBM=20∘\angle CNM=\angle CBM=20^\circ (вписанные углы на дугу CMCM), поэтому ∠BND=55∘+20∘=75∘\angle BND=55^\circ+20^\circ=75^\circ.

Аналогично ∠ABN=∠ACN=35∘\angle ABN=\angle ACN=35^\circ (вписанные углы на дугу ANAN), значит ∠DBN=∠ABC+∠ABN=40∘+35∘=75∘\angle DBN=\angle ABC+\angle ABN=40^\circ+35^\circ=75^\circ.

Тогда ∠BDN=180∘−75∘−75∘=30∘\angle BDN=180^\circ-75^\circ-75^\circ=30^\circ, а так как углы при BB и NN равны, треугольник BDNBDN равнобедренный: BD=NDBD=ND.

Высота BHBH опущена на сторону DNDN, из прямоугольного треугольника с углом 30∘30^\circ при DD: BD=BHsin⁡30∘=60,5=12BD=\dfrac{BH}{\sin30^\circ}=\dfrac{6}{0{,}5}=12, значит и ND=12ND=12.

Площадь: SBDN=12⋅BD⋅ND⋅sin⁡∠BDN=12⋅12⋅12⋅sin⁡30∘=36S_{BDN}=\dfrac12\cdot BD\cdot ND\cdot\sin\angle BDN=\dfrac12\cdot12\cdot12\cdot\sin30^\circ=36.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют, какие вписанные углы опираются на одну и ту же дугу, и путают равенство углов с равенством дуг.
  • Забывают, что биссектриса делит угол B пополам, и берут весь угол B при вычислении дуги CM.
  • Ошибочно считают, что высота BH опущена на другую сторону треугольника BDN, что приводит к неверной формуле для BD.
Непонятно?

Похожие задачи