Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) По свойству биссектрисы угла: $\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CL}{LB}=2$, а так как $BC=6$, получаем $CL=4$, $LB=2$.

Точки $A,P$ и хорда $BC$ пересекаются в точке $L$ внутри окружности, поэтому по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд: $AL\cdot LP=CL\cdot LB$, то есть $AL=\dfrac{4\cdot2}{2}=4$. Значит $AL=LB=4$, то есть треугольник $ALB$... на самом деле важно, что $AL=CL$? Нет — сравним: $AL=4=LB\cdot...$ фактически получаем, что треугольник $ACL$ — равнобедренный ($AL=CL$ не так, но угол $CAL=\angle ACL$ по условию задачи следует из равенства $AL=LB$, что даёт равнобедренный треугольник $ALB$, откуда $\angle LAB=\angle LBA$).

Поскольку $\angle LAC=\angle LAB$ (AL — биссектриса), а $\angle LAB=\angle LBP$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $AP$, получаем $\angle LCA=\angle LBP$. Эти углы — накрест лежащие при секущей $BC$ для прямых $AC$ и $BP$, значит $AC\parallel BP$.

б) Пусть $AB=x$, $AC=2x$. Из треугольников $CAL$ и $LAB$ по теореме косинусов для общего угла при вершине $A$: $$\cos\angle CAL=\frac{(2x)^2+4^2-4^2}{2\cdot2x\cdot4}=\frac{x}{4},\qquad \cos\angle LAB=\frac{4^2+x^2-2^2}{2\cdot4\cdot x}=\frac{12+x^2}{8x}.$$ Так как $AL$ — биссектриса, эти косинусы равны: $\dfrac{x}{4}=\dfrac{12+x^2}{8x}$, откуда $2x^2=12+x^2$, $x^2=12$, $x=2\sqrt3$.

Стороны треугольника: $AB=2\sqrt3$, $AC=4\sqrt3$, $BC=6$. Полупериметр $p=3\sqrt3+3$.

По формуле Герона: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(3\sqrt3+3)(3\sqrt3-3)(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\sqrt{(27-9)(9-3)}=\sqrt{18\cdot6}=\sqrt{108}=6\sqrt3.$