Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Так как $BN$ — диаметр окружности, угол $\angle BKN$ опирается на диаметр, значит $\angle BKN=90^\circ$, то есть $KN\perp BK$. По условию $BH\perp AC$, а прямая $BK$ совпадает с прямой $BH$ (это одна и та же высота, продолженная до второй точки пересечения с окружностью). Значит, обе прямые $AC$ и $KN$ перпендикулярны одной и той же прямой $BK$, а значит, $AC\parallel KN$.

б) Пусть $R=10\sqrt6$. Так как $AC\parallel KN$, расстояние от $N$ до $AC$ равно расстоянию от $K$ до $AC$, то есть длине отрезка $KH$ (так как $H\in AC$ и $KH\perp AC$).

Найдём угол $\angle BCA$: сумма углов треугольника даёт $$\angle BCA=180^\circ-\angle BAC-\angle ABC=180^\circ-30^\circ-105^\circ=45^\circ.$$ В прямоугольном треугольнике $BHC$ ($\angle BHC=90^\circ$) угол $\angle HBC$ дополняет $\angle BCH=\angle BCA=45^\circ$ до $90^\circ$: $$\angle HBC=90^\circ-45^\circ=45^\circ.$$

Хорда $CK$ стягивает вписанный угол $\angle CBK=\angle HBC=45^\circ$, поэтому по теореме синусов для окружности $$CK=2R\sin\angle HBC=2R\sin45^\circ.$$

Угол $\angle ACK$ равен вписанному углу $\angle ABK$, опирающемуся на ту же дугу $AK$: $$\angle ACK=\angle ABK=90^\circ-\angle BAH=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$$ так как $\angle BAH=\angle BAC$ (точка $H$ лежит на $AC$).

В прямоугольном треугольнике $CKH$ (угол при $H$ прямой, так как $KH\perp AC$) получаем $$KH=CK\sin\angle ACK=2R\sin45^\circ\sin60^\circ.$$

Подставляя $R=10\sqrt6$: $$KH=2\cdot10\sqrt6\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt6\cdot\frac{\sqrt6}{2}=10\cdot\frac{6}{2}=30.$$

Следовательно, расстояние от $N$ до $AC$ равно $30$.