Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

Найдём угол A: $\angle A=180^\circ-85^\circ-25^\circ=70^\circ$.

а) Так как $BL$ — диаметр, то вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые: $\angle BAL=90^\circ$ и $\angle BML=90^\circ$. Первое равенство даёт $AL\perp AB$, второе — $ML\perp BM$. По условию $BM$ лежит на прямой высоты $BT$, то есть $BM\perp AC$. Значит, $ML$ и $AC$ оба перпендикулярны одной прямой $BM$, а значит $ML\parallel AC$.

Поскольку $ML\parallel AC$, а $AL$ — секущая, накрест лежащие углы равны: $\angle CAL=\angle MLA$. С другой стороны, углы $\angle MLA$ и $\angle ABM$ опираются на одну и ту же дугу $AM$, значит они равны как вписанные. Отсюда $\angle ABM=\angle CAL$, что и требовалось.

б) Углы $\angle LBC$ и $\angle CAL$ опираются на одну дугу $CL$, поэтому $\angle LBC=\angle CAL$. Так как $\angle BAL=90^\circ$, то $\angle CAL=90^\circ-\angle BAC=90^\circ-70^\circ=20^\circ$.

Тогда $\angle ABM=\angle CAL=20^\circ$ (по пункту а), и угол между $BM$ и $BL$ равен $$\angle MBL=\angle ABC-2\angle ABM=85^\circ-2\cdot20^\circ=45^\circ.$$

В треугольнике $BML$ сторона $ML$ лежит против угла $\angle MBL$, а $BL=2R$ — диаметр окружности, значит по теореме синусов $$ML=2R\sin\angle MBL=2\cdot17\sqrt2\cdot\sin45^\circ=2\cdot17\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=34.$$