Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Обозначим $\angle BAC=2\alpha$, $\angle ACB=2\beta$, тогда $\angle ABC=180^\circ-2\alpha-2\beta$.

По свойству угла между касательной и хордой, $\angle KCA$ равен вписанному углу $\angle ABC$, опирающемуся на ту же хорду $AC$ с другой стороны: $\angle KCA=180^\circ-2\alpha-2\beta$.

BK — биссектриса угла $ABC$, поэтому $\angle KBC=\dfrac12\angle ABC=90^\circ-\alpha-\beta$.

Угол $\angle KCB=\angle BCA+\angle ACK$ (K лежит вне треугольника со стороны касательной). Подставив в сумму углов треугольника $BKC$: $\angle KBC+\angle KCB+\angle BKC=180^\circ$, получаем выражение для $\angle BKC$ через $\alpha,\beta$.

С другой стороны, по условию $\angle BKC=\dfrac12(3\cdot2\alpha-2\beta)=3\alpha-\beta$.

Приравнивая два выражения для $\angle BKC$, после упрощения получаем $2\beta=90^\circ$, то есть $\angle ACB=2\beta=90^\circ$. Значит, треугольник прямоугольный (прямой угол при $C$).

б) Так как угол при $C$ прямой, гипотенуза $AB$ — диаметр окружности, а центр $O$ — середина $AB$, значит $R=\dfrac{AB}{2}$.

Отрезок от середины гипотенузы до катета — средняя линия треугольника, поэтому расстояние от $O$ до $AC$ равно $\dfrac{BC}{2}$, а до $BC$ равно $\dfrac{AC}{2}$.

Пусть $AC=x$. Тогда из условия $AC+AB=4$ следует $AB=4-x$.

Из условия о сумме расстояний: $\dfrac{AC}{2}+\dfrac{BC}{2}=\dfrac74\Rightarrow AC+BC=\dfrac72\Rightarrow BC=\dfrac72-x$.

По теореме Пифагора: $x^2+\left(\dfrac72-x\right)^2=(4-x)^2$.

Раскрывая скобки: $2x^2-7x+\dfrac{49}{4}=x^2-8x+16\Rightarrow x^2+x-\dfrac{15}{4}=0\Rightarrow4x^2+4x-15=0\Rightarrow(2x-3)(2x+5)=0$.

Поскольку $x>0$, $x=\dfrac32$, значит $AC=\dfrac32$, $BC=2$, $AB=4-\dfrac32=\dfrac52$.

Тогда $R=\dfrac{AB}{2}=\dfrac54$.