Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Пусть $\angle BAC=\alpha$. Угол $BOC$ — центральный, опирается на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $BAC$, поэтому $\angle BOC=2\alpha$.

Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC=R$), значит углы при основании равны: $$\angle CBO=\angle OCB=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha.$$

В прямоугольном треугольнике $ABH$ (угол $AHB=90^\circ$, так как $BH$ — высота) угол $BAH=\alpha$, значит $$\angle ABH=90^\circ-\alpha.$$

Следовательно, $\angle ABH=\angle CBO$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $M$ — середина $BC$. Так как $O$ — центр описанной окружности, $OM\perp BC$ (серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр), то есть треугольник $OBM$ прямоугольный с прямым углом при $M$.

Поскольку $M$ лежит на луче $BC$, угол $OBM$ — это тот же угол, что и $\angle CBO$, а по доказанному в пункте а) $\angle CBO=\angle ABH$. Значит, $$\angle OBM=\angle ABH.$$

Треугольники $ABH$ и $OBM$ оба прямоугольные и имеют равный острый угол, поэтому они подобны (по двум углам). Из подобия соответствующие стороны пропорциональны: $$\frac{BH}{AB}=\frac{BM}{OB}.$$

Так как $M$ — середина $BC$, то $BM=\dfrac{BC}{2}$. Подставляя и используя условие $BH=BO$, получаем: $$BH\cdot BO=\frac{AB\cdot BC}{2}\ \Rightarrow\ BH^2=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{8\cdot 9}{2}=36.$$

Отсюда $BH=\sqrt{36}=6$.