Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Пусть $\angle BAC=\alpha$. Угол $BOC$ — центральный, опирающийся на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $BAC$, поэтому $\angle BOC=2\alpha$.

Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC=R$), значит $\angle OBC=\angle OCB=\dfrac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle AHB=90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$, откуда $\angle ABH=90^\circ-\alpha$.

Таким образом $\angle ABH=\angle CBO=90^\circ-\alpha$, что и требовалось доказать.

б) Пусть $M$ — середина $BC$. Тогда $OM\perp BC$ (радиус к середине хорды), то есть $\angle OMB=90^\circ=\angle AHB$.

Из пункта а) $\angle CBO=\angle ABH$, а $\angle CBO=\angle MBO$ (точка $M$ лежит на $BC$), поэтому $\angle ABH=\angle OBM$.

Следовательно, треугольники $ABH$ и $OBM$ подобны по двум углам (AA): $\angle ABH=\angle OBM$, $\angle AHB=\angle OMB=90^\circ$.

Из подобия следует пропорция сторон, лежащих против равных углов: $$\frac{BH}{BM}=\frac{AB}{OB}.$$

Подставим $BM=\dfrac{BC}{2}$ и условие $BH=BO$: $$BH=\frac{AB\cdot BM}{BO}=\frac{AB\cdot BC}{2\,BH}\;\Rightarrow\; BH^2=\frac{AB\cdot BC}{2}.$$

Подставляя $AB=16$, $BC=18$: $$BH^2=\frac{16\cdot18}{2}=144\;\Rightarrow\;BH=12.$$