Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Обозначим $\angle BAC=\alpha$. По условию $\angle AKC=90^\circ-\alpha$, а так как $K$ лежит на луче $AO$, то $\angle OKC=\angle AKC=90^\circ-\alpha$.

Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: $\angle BOC=2\angle BAC=2\alpha$. Треугольник $BOC$ равнобедренный ($OB=OC=R_{ABC}$), поэтому $\angle OBC=\angle OCB=\dfrac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

Получили $\angle OBC=\angle OKC$, причём точки $B$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $OC$. По признаку вписанного угла (равные углы, опирающиеся на один отрезок с одной стороны) точки $O,B,K,C$ лежат на одной окружности, значит $OBKC$ — вписанный четырёхугольник.

б) Из $\cos\alpha=\dfrac35$ находим $\sin\alpha=\dfrac45$.

По теореме синусов для треугольника $ABC$: $OC=R_{ABC}=\dfrac{BC}{2\sin\alpha}=\dfrac{48}{2\cdot\frac45}=30$.

Теперь рассматриваем треугольник $OKC$, вписанный в искомую окружность радиуса $R$. По теореме синусов: $$R=\dfrac{OC}{2\sin\angle OKC}=\dfrac{OC}{2\sin(90^\circ-\alpha)}=\dfrac{OC}{2\cos\alpha}=\dfrac{30}{2\cdot\frac35}=25.$$