Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Так как BK — касательная в точке B, угол между касательной и хордой BC равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду с другой стороны: $\angle KBC=\angle BAC$ (теорема о касательной и хорде).

Прямые AB и CK параллельны, а BC — секущая, значит внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle ABC=\angle BCK$.

Треугольник ABC равнобедренный (AB=AC), поэтому углы при основании равны: $\angle ABC=\angle ACB$.

Собирая эти равенства, получаем, что треугольники ABC и BCK подобны (по двум углам, соответствие $A\to B,\ B\to C,\ C\to K$), и $$\angle BKC=\angle ACB=\angle ABC=\angle BCK.$$ Равенство углов при вершинах K и C треугольника BCK означает равенство сторон, лежащих напротив них: $BC=BK$. Значит, треугольник BCK равнобедренный.

б) Из подобия ABC~BCK коэффициент подобия $k=\dfrac{AB}{BC}$ (AB соответствует BC), поэтому $$\frac{S_{ABC}}{S_{BCK}}=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2.$$

По теореме косинусов в равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC): $$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC=2AB^2(1-\cos\angle BAC).$$

Подставляя $\cos\angle BAC=\dfrac34$: $$\frac{S_{ABC}}{S_{BCK}}=\frac{AB^2}{2AB^2\left(1-\frac34\right)}=\frac{1}{2\cdot\frac14}=2.$$