Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

Шаг 1. Точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, значит $NA=NB$. Тогда треугольник $ANB$ равнобедренный, и медиана $NM$ (проведённая к середине $AB$) является одновременно высотой, то есть $\angle NMA=90^{\circ}$.

Шаг 2. Точка $N$ лежит на катете $CB$, поэтому луч $CN$ совпадает с лучом $CB$, а значит $\angle NCA=\angle BCA=90^{\circ}$ (это данный прямой угол треугольника).

Шаг 3. В четырёхугольнике $AMNC$ противоположные углы при вершинах $M$ и $C$ дают в сумме $90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$. По признаку вписанного четырёхугольника (сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$) вокруг $AMNC$ можно описать окружность.

Шаг 4 (пункт а). В этой окружности углы $\angle CAN$ и $\angle CMN$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $CN$, значит они равны: $\angle CAN=\angle CMN$, что и требовалось доказать.

Шаг 5 (пункт б). По той же причине углы $\angle MAN$ и $\angle MCB$ опираются на одну дугу $MN$ окружности $AMNC$, поэтому $\angle MAN=\angle MCB$.

Шаг 6. В треугольниках $ANB$ и $CBM$ угол при вершине $B$ общий (это угол $\angle ABC$), а углы $\angle NAB=\angle MAN$ и $\angle MCB$ равны по шагу 5. Значит треугольники $ANB$ и $CBM$ подобны по двум углам, и коэффициент подобия равен отношению сторон, лежащих против равных углов: $k=\dfrac{AB}{BC}$.

Шаг 7. В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно $\tan\angle BAC=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{4}{3}$, то есть стороны относятся как $BC:AC=4:3$. По теореме Пифагора получаем классическое соотношение $3\!-\!4\!-\!5$: $BC:AC:AB=4:3:5$.

Шаг 8. Тогда $k=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{5}{4}$.

Шаг 9. У подобных треугольников радиусы описанных окружностей относятся так же, как коэффициент подобия, поэтому $\dfrac{R_{ANB}}{R_{CBM}}=\dfrac{5}{4}$.

Ответ: а) доказано; б) $5:4$.