Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Так как AP — диаметр окружности, вписанные углы, опирающиеся на него, прямые: $\angle ABP=\angle ACP=90^\circ$. Значит $PB\perp AB$ и $PC\perp AC$. Но и высоты треугольника перпендикулярны тем же сторонам: $CC_1\perp AB$, $BB_1\perp AC$. Отсюда $PB\parallel CC_1$ (обе $\perp AB$) и $PC\parallel BB_1$ (обе $\perp AC$). Получаем четырёхугольник $BPCH$, у которого противоположные стороны попарно параллельны — значит, это параллелограмм. Диагонали параллелограмма ($BC$ и $PH$) пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, прямая $HP$ проходит через середину $BC$.

б) Пусть $K$ — середина $BC$ (она же середина $PH$), $O$ — центр окружности. В равнобедренном треугольнике $OBC$ отрезок $OK$ — высота, то есть $OK\perp BC$, и по условию $OK=4$.

Посмотрим на треугольник $APH$: $O$ — середина $AP$ (диаметр), $K$ — середина $PH$, значит $OK$ — средняя линия этого треугольника, поэтому $$AH=2\cdot OK=8.$$

Так как $AP$ — диаметр, $\angle AMP=90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр). Точка $M$ лежит на луче $PH$, поэтому $\angle AMH=\angle AMP=90^\circ$. Также $\angle AC_1H=90^\circ$ (высота $CC_1$). Значит точки $A, C_1, H, M$ лежат на одной окружности с диаметром $AH$.

Поскольку $CC_1\parallel PB$ (доказано в пункте а), угол между прямыми $HC_1$ и линией $PHM$ равен углу между $PB$ и той же прямой, то есть $\angle C_1HM=\angle BPH=120^\circ$. В вписанном четырёхугольнике $AC_1HM$ противоположные углы дополняют друг друга до $180^\circ$: $$\angle C_1AM=180^\circ-\angle C_1HM=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$$

Хорда $MC_1$ в окружности с диаметром $AH=8$ стягивает вписанный угол $60^\circ$, поэтому по теореме синусов $$MC_1=AH\cdot\sin\angle C_1AM=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3.$$