Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

а) Так как CK — биссектриса прямого угла C, $\angle ACK=\angle BCK$, поэтому дуги $AL$ и $LB$ равны, а значит равны стягивающие их хорды: $AL=LB$. Отсюда точка $L$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, который проходит через центр $O$ (центр — середина $AB$, так как $\angle C=90^\circ$ и $AB$ — диаметр). Значит $OL\perp AB$.

Прямая $LM$ проходит через центр $O$, следовательно $LM$ — диаметр, и $OM=OL=R$.

Точка $K$ лежит на $AB$, поэтому треугольники $OKL$ и $OKM$ — прямоугольные с общим катетом $OK$ и равными катетами $OL=OM$. По теореме Пифагора $KL=KM$, то есть треугольник $KLM$ равнобедренный, откуда $\angle KLM=\angle KML$.

Поскольку $K$ лежит на прямой $CL$, угол $\angle KLM=\angle CLM$ — вписанный, опирающийся на дугу $CM$, а такой же вписанный угол опирается из точки $B$: $\angle CLM=\angle CBM$. Значит $\angle KML=\angle CBM=\angle PBM$ (так как $B,P,C$ лежат на одной прямой). А так как $O$ лежит на $LM$, то и $P$ лежит на этой же прямой, значит $\angle KMP=\angle KML=\angle PBM$.

По обратной теореме об угле между касательной и хордой равенство угла между $MK$ и хордой $MP$ вписанному углу $\angle MBP$, опирающемуся на эту хорду с другой стороны, означает, что $MK$ — касательная к окружности, описанной около треугольника $BMP$, в точке $M$.

б) По теореме Пифагора $AB^2=AC^2+BC^2=9+16=25$, значит $AB=5$, а $O$ — середина гипотенузы, $OB=\dfrac52$.

Треугольники $BOP$ и $BCA$ подобны (общий угол $B$, оба прямоугольные), поэтому $\dfrac{BO}{OP}=\dfrac{BC}{CA}$, откуда $OP=\dfrac{BO\cdot CA}{BC}=\dfrac{\frac52\cdot3}{4}=\dfrac{15}{8}$.

Так как прямая $LM$ проходит через центр, $LM$ — диаметр, поэтому $OM=OL=\dfrac52$, и, поскольку $P$ лежит на этой же прямой между $O$ и $M$, $PM=OM-OP=\dfrac52-\dfrac{15}{8}=\dfrac58$.

По свойству биссектрисы $\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AC}{CB}=\dfrac34$, значит $AK=\dfrac{3}{7}\cdot5=\dfrac{15}{7}$, и $KO=OA-AK=\dfrac52-\dfrac{15}{7}=\dfrac{5}{14}$.

Поскольку $OL\perp AB$, вся прямая $LM$ перпендикулярна $AB$, а значит отрезок $KO$ (лежащий на $AB$) является высотой треугольника $MKP$, опущенной на сторону $PM$. Тогда $$S_{\triangle MKP}=\frac12\cdot PM\cdot KO=\frac12\cdot\frac58\cdot\frac{5}{14}=\frac{25}{224}.$$