ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Описанные окружности и треугольники

Задание 17 ЕГЭ, математика (профиль): Описанные окружности и треугольники

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 17Теорема синусовУглы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписан в окружность. Биссектриса угла A пересекает описанную окружность в точке A1, биссектриса угла  B пересекает описанную окружность в точке B1, биссектриса угла  C пересекает описанную окружность в точке C1.

a) Докажите, что угол A1BB1  =  45°.

б)  Известно, что AB=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , \angle A=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка . Найдите B1C1.

В подтеме 33 задач
Разбор
Главная идея: Использовать теорему о вписанных углах (равенство углов, опирающихся на одну дугу) вместе со свойством биссектрисы делить угол пополам, а затем применить теорему синусов, зная, что все точки лежат на одной окружности и что гипотенуза прямоугольного треугольника является её диаметром.

а) Все шесть точек A,B,C,A₁,Bₑ,C₁ лежат на одной окружности, поэтому можно пользоваться теоремой о вписанных углах: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол ∠A1BC\angle A_1BC и угол ∠A1AC\angle A_1AC опираются на одну дугу A1CA_1C, значит ∠A1BC=∠A1AC\angle A_1BC=\angle A_1AC. Так как AA1AA_1 — биссектриса угла AA, то ∠A1AC=12∠A\angle A_1AC=\dfrac12\angle A.

Аналогично, BB1BB_1 — биссектриса угла BB, поэтому ∠CBB1=12∠B\angle CBB_1=\dfrac12\angle B.

Тогда ∠A1BB1=∠A1BC+∠CBB1=12∠A+12∠B=12(∠A+∠B)\angle A_1BB_1=\angle A_1BC+\angle CBB_1=\dfrac12\angle A+\dfrac12\angle B=\dfrac12(\angle A+\angle B).

В прямоугольном треугольнике ∠C=90∘\angle C=90^\circ, значит ∠A+∠B=90∘\angle A+\angle B=90^\circ, и ∠A1BB1=45∘\angle A_1BB_1=45^\circ.

б) Из ∠A=60∘\angle A=60^\circ находим ∠B=90∘−60∘=30∘\angle B=90^\circ-60^\circ=30^\circ.

Используем ту же идею вписанных углов: ∠B1A1A=∠B1BA=12∠B=15∘\angle B_1A_1A=\angle B_1BA=\dfrac12\angle B=15^\circ (опираются на дугу AB1AB_1), а ∠AA1C1=∠ACC1=12∠C=45∘\angle AA_1C_1=\angle ACC_1=\dfrac12\angle C=45^\circ (опираются на дугу AC1AC_1).

Складывая, получаем угол в треугольнике A1B1C1A_1B_1C_1: ∠B1A1C1=∠B1A1A+∠AA1C1=15∘+45∘=60∘\angle B_1A_1C_1=\angle B_1A_1A+\angle AA_1C_1=15^\circ+45^\circ=60^\circ.

Точки A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 лежат на той же окружности, что и A,B,CA,B,C, поэтому радиус RR у обеих "вписанных" фигур один и тот же. Так как ∠C=90∘\angle C=90^\circ, отрезок ABAB — диаметр этой окружности, то есть AB=2RAB=2R.

По теореме синусов для треугольника A1B1C1A_1B_1C_1: B1C1=2Rsin⁡∠B1A1C1=AB⋅sin⁡60∘=23⋅32=3B_1C_1=2R\sin\angle B_1A_1C_1=AB\cdot\sin60^\circ=2\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3.

Типичные ошибки

  • Забывают, что биссектриса делит угол ровно пополам, и путают половину угла с самим углом при подсчёте вписанных углов.
  • Не учитывают, что ABAB является диаметром описанной окружности именно потому, что угол C=90∘C=90^\circ, и берут радиус треугольника A1B1C1A_1B_1C_1 отдельно.
  • Неправильно складывают углы ∠B1A1A\angle B_1A_1A и ∠AA1C1\angle AA_1C_1, забывая, что нужный угол ∠B1A1C1\angle B_1A_1C_1 получается именно их суммой (путают порядок точек на окружности).
Непонятно?

Похожие задачи